Conjunto de puntos con distancias únicas

Question

¿Existe un conjunto de puntos de $\mathbb{R}^n$ tales que cada distancia positiva se realiza con exactamente un par de puntos en el conjunto?

Puedo ver que si existe, el conjunto debe ser innumerables y sin límites y no puede contener cualquier segmento de línea.

Answer 1

La respuesta es sí.

Decimos que un subconjunto $X$ $\mathbb{R}$ es métricamente rígido si cada uno positivo distancia es realizada por más de un par de puntos en $X$.

Deje $\{d_\xi:\xi<2^\omega\}$ ser una enumeración de los reales positivos. Deje $X_0=\varnothing$. Supongamos que $\eta<2^\omega$, y para cada una de las $\xi<\eta$ tenemos un conjunto $X_\xi\subseteq\mathbb{R}$ tal que para cada una de las $\xi<\eta$ el siguiente:se

$\qquad(1)_\xi: X_\zeta\subseteq X_\xi$ siempre $\zeta\le\xi$;
$\qquad(2)_\xi: |X_\xi|\le\max \{|\xi|,\omega \}$;
$\qquad(3)_\xi: X_\xi$ métricamente es rígida; y
$\qquad(4)_\xi: d_\xi$ es realizado por algún par de puntos de $X_\xi$.

Deje $Y_\eta=\bigcup\limits_{\xi<\eta}X_\xi$; es fácil ver que $Y_\eta$ métricamente es rígida y que $|Y_\eta|\le\max\{|\eta|,\omega\}$.

Si $d_\eta$ es realizado por algún par de puntos de $Y_\eta$, vamos a $X_\eta=Y_\eta$, y observar que $(1)_\eta-(4)_\eta$ mantener.

Comenzar A Editar:

De lo contrario, vamos a

$$\begin{align*}S_\eta&=\{x\in\mathbb{R}:\exists \xi<\eta\;\exists\zeta\le\eta\;\big(|x-x_\xi|=d_\zeta\big)\}\;,\\ M_\eta&=\left\{\frac12(x_\xi+x_\zeta):\xi,\zeta<\eta\right\},\\ C_\eta&=\left\{x\in\mathbb{R}:\exists y\in M_\eta\left(|x-y|=\frac{d_\eta}2\right)\right\},\text{ and}\\ Z_\eta&=S_\eta\cup M_\eta\cup C_\eta\;. \end{align*}$$

$|Z_\eta|\le\max\{2|\eta|^2,\omega\}<2^\omega$, por lo que podemos optar $x_\eta,y_\eta\in\mathbb{R}\setminus Z_\eta$, de modo que $|x_\eta-y_\eta|=d_\eta$. Set $X_\eta=Y_\eta\cup\{x_\eta,y_\eta\}$, y vuelve a observar que el $(1)_\eta-(4)_\eta$ mantener.

Sólo la métrica de la rigidez de $Y_\eta$ podría estar en duda. Claramente cualquier violación debe incluir, al menos uno de los dos nuevos puntos y a una distancia no $\{d_\xi:\xi<\eta\}$. Esto puede suceder de dos maneras. En primer lugar, $x_\eta$ o $y_\eta$ podría ser el punto medio de dos puntos de $Y_\eta$, pero este es excluido por la inclusión de $M_\eta$$Z_\eta$. En segundo lugar, podría ser $x,y\in Y_\eta$ tal que $|x-x_\eta|=|y-y_\eta|$. Pero en caso de que los pares de $\{x,y\}$ $\{x_\eta,y_\eta\}$ tienen el mismo punto medio, por lo que esta posibilidad está excluida por la inclusión de $C_\eta$$Z_\eta$.

Mi agradecimiento a Arthur Fischer para la captura de un descuido en la versión original de esta sección.

Final De Edición.

Así, la construcción pasa a través de a $2^\omega$.

Por último, vamos a $X=\bigcup\limits_{\xi<2^\omega}X_\xi$; a continuación, $X$ es un métricamente rígido subconjunto de $\mathbb{R}$ (y por el abuso de la terminología de $\mathbb{R}^n$ cualquier $n$) que realiza cada positivos distancia.

Añadido: Algunos pueden encontrar que es interesante que la hipótesis continua es equivalente a la afirmación de que $\mathbb{R}$ es la unión de countably muchos métricamente rígido de conjuntos; véase el Corolario 7 de este papel viejo. ($\mathbb{R}$ no es la unión de un número finito de estos conjuntos.)