Esta es una expansión de John Rognes respuesta. He llenado en un par de detalles en Douady del seminare notas y se dio cuenta de que uno se aleja con un poco más débil axiomas. Si ya hay una referencia fiable para todo esto, por favor hágamelo saber.
Recordemos que un Cartan-Eilenberg sistema de $(H,\eta,\partial)$ (ver aquí, en el capítulo XV.7) se compone de módulos de $H(p,q)$ por cada $p\le q$, morfismos $\eta\colon H(p',q')\to H(p,q)$ para todos los $p\le p'$, $q\le q'$, y los límites de morfismos $\partial\colon H(p,q) \to H(q,r)$ para todos los $p\le q\le r$, de tal manera que
$\eta=\mathrm{id}\colon H(p,q)\to H(p,q)$,
$\eta=\eta\circ\eta\colon H(p'',q'')\to H(p',q')\to H(p,q)$,
$\eta$ e $\partial$ viaje,
hay largas secuencias exactas $\cdots\to H(q,r)\stackrel\eta\to H(p,r)\stackrel\eta\to H(p,q)\stackrel\partial\to H(q,r)\to\cdots$.
Las condiciones necesarias para la convergencia han sido omitidos. Un ejemplo típico es $H(p,q)=\tilde h_\bullet(X_p/X_q)$ donde $\cdots\supset X_{-1}\supset X_0\supset X_1\supset\cdots$ es una disminución de la secuencia de cofibrations y $\tilde h_\bullet$ es algunos generalizada de la teoría de la homología. La calificación es suprimida en el siguiente, pero usted puede fácilmente llenar.
Para configurar una secuencia espectral de $(H,\eta,\partial)$, se define el
$$Z^r_p=\mathrm{im}\bigl(H(p,p+r)\stackrel\eta\to H(p,p+1)\bigr)\;,$$
$$B^r_p=\mathrm{im}\bigl(H(p-r+1,p)\stackrel\partial\to H(p,p+1)\bigr)\;,$$
$$E^r_p=Z^r_p/B^r_p\;,$$
$$d^r_p\colon Z^r_p/B^r_p\twoheadrightarrow Z^r_p/Z^{i+1}_p\cong
B^{i+1}_{p+r}/B^r_{p+r}\hookrightarrow Z^r_{p+r}/B^r_{p+r}\;.$$
Los detalles están en Switzer del libro, en el capítulo 15. En particular
$$\ker(d^r_p)=Z^{i+1}_p/B^r_p\qquad\text{y}\qquad
\mathrm{im}(d^r_p)=B^{i+1}_p/B^r_p\;.$$
Para $a=\eta(a_0)\in H(p,p+1)$, $a_0\in H(p,p+r)$, uno tiene
$$d^r_p([a])=[\partial a_0]\in E^r_p\qquad\text{with}\qquad\partial a_0\in H(p+r,p+r+1)\;.$$
Definición (Douady, II.A)
Vamos $(H,\eta,\partial)$, $(H',\eta',\partial')$ und $(H'',\eta'',\partial'')$ ser Cartan-Eilenberg sistemas. Un espectral del producto $\mu\colon(H',\partial')\times(H'',\partial'')\to(H,\partial)$ es una secuencia de mapas
$$\mu_r\colon H'(m,m+r)\otimes H''(n,n+r)\to H(m+n,m+n+r)$$
tal que para todo $m$, $n$, $r\ge 1$, los siguientes dos diagramas conmutan.
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
H'(m,m+r)\otimes H''(n,n+r)@>\mu_r>>H(m+n,m+n+r)\\
@V\eta'\oplus V\eta''V@VV\eta V\\
H'(m,m+1)\otimes H''(n,n+1)@>\mu_1>>H(m+n,m+n+1)\rlap{\;,}
\end{CD}
\begin{CD}
H'(m,m+r)\otimes H''(n,n+r)@>\mu_r>>H(m+n,m+n+r)\\
@V\partial'\otimes\eta''\oplus V\eta'\otimes\partial''V@VV\partial V\\
{\begin{matrix}H'(m+r,m+r+1)\otimes H''(n,n+1)\\\oplus\\H'(m,m+1)\otimes H''(n+r,n+r+1)\end{de la matriz}}@>\mu_1+\mu_1>>H_{p+q-1}(m+n+r,m+n+r+1)\rlap{\;.}
\end{CD}
El primer diagrama es más débil que en Douady notas.
La segunda puede ser leído como una regla de Leibniz.
Teorema (Douady, Thm II)
Un espectral producto $\mu\colon(H',\partial')\times(H'',\partial'')\to(H,\partial)$ induce productos
$$\mu^r\colon E^{\prime r}_m\otimes E^{\prime\prime r}_n\to E^r_{m+n}\;,$$
tal que
$\mu^1=\mu_1$
$d^r_{m+n}\circ\mu^r=\mu^r\circ(d^{\prime r}_m\otimes\mathrm{id})\pm\mu^r\circ(\mathrm{id}\circ d^{\prime\prime r}_n)$,
$\mu^{r+1}$ es inducida por $\mu^r$.
Prueba.
Asumir por inducción que $\mu^r$ es inducida por $\mu_1$. En particular,
$$Z^{\prime r}_m\otimes Z^{\prime\prime r}_n\stackrel{\mu_1}\to Z^r_{m+n}\;,$$
$$B^{\prime r}_m\otimes Z^{\prime\prime r}_n\stackrel{\mu_1}\to B^r_{m+n}\;,$$
$$Z^{\prime r}_m\otimes B^{\prime\prime r}_n\stackrel{\mu_1}\to B^r_{m+n}\;.$$
Esto es claro para $r=1$ si ponemos $\mu^1=\mu_1$ porque $E^1_p=Z^1_p=H(p,p+1)$
y $B^1_p=0$.
Vamos $[a]\in Z^{\prime r}_m$, $[b]\in Z^{\prime\prime r}_n$ ser representado por $a=\eta'(a_0)\in H'(m,m+1)$, $b=\eta''(b_0)\in H''(n,n+1)$ con $a_0\in H'(m,m+r)$, $b_0\in H''(n,n+r)$.
Con el primer diagrama y la construcción de $d^r_{m+n}$, llegamos a la conclusión de que
$$(d^r_{m+n}\circ\mu^r)([a]\otimes[b])=d^r_{m+n}[\mu_1(a\otimes b)]=d^r_{m+n}[\eta(\mu_r(a_0\otimes b_0))]=(\partial\circ\mu_r)(a_0\otimes b_0)\;.$$
A partir del segundo diagrama, obtenemos
$$(\partial\circ\mu_r)(a_0\otimes b_0)=\mu_1(\partial'a_0\otimes\eta''b_0)\pm\mu_1(\eta'a_0\otimes\partial''b_0)=\mu^r(d^{\prime r}_m[a]\otimes[b])\pm\mu^r([a]\otimes d^{\prime\prime r}_n[b])\;.$$
Esto demuestra la regla de Leibniz (2).
Desde el Leipniz de la regla y de los hechos que $\ker(d^r_p)=Z^{r+1}_p/B^r_p$ e $\mathrm{im}(d^r_p)=B^{r+1}_p/B^r_p$, llegamos a la conclusión de que $\mu^r$ induce un producto en $E^{r+1}_p\cong\ker(d^r_p)/\mathrm{im}(d^r_p)$, lo que demuestra (3). Debido a $\mu^r$ es inducida por $\mu_1$, por lo que es $\mu^{r+1}$, y se puede continuar la inducción.
