Dual del espacio de Hölder funciones continuas?

Question

Deje $X=C^{\alpha}(\Omega,\mathbb{R})$ ser el espacio de Hölder funciones continuas. ¿Cuál es su doble?

Answer 1

Sólo un par de palabras acerca de cómo obtener una representación para el dual, dado que los detalles sobre este tema, ciertamente son tratados en la literatura.

Para solucionar notaciones, supongamos por ejemplo, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser un barrio de $0$ , vamos a $\Delta_\Omega\subset\Omega\times\Omega$ el valor de la diagonal, y $\tilde\Omega:=(\Omega\times\Omega)\setminus\Delta_\Omega\subset \mathbb{R}^{2n}$.

Deje $$\|u\|_\alpha:= |u(0)| + \sup _ {(x,y)\in\tilde\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|} {|x-y|^\alpha}$$ será el habitual $C^\alpha$ norma.

Tenemos por lo tanto un isométrico lineal de la incrustación $$j: C^ \alpha(\Omega) \to \mathbb{R}\times C^0_b(\tilde\Omega )$$ la asignación de $u\in C^ \alpha(\Omega)$ a la par $\left( u(0), \frac{u(x)-u(y)} {|x-y| ^ \alpha} \right)$. Esto presenta $C^ \alpha(\Omega)$ como producto de la $\mathbb{R}$ y un subespacio del espacio delimitado funciones continuas en el conjunto abierto $\tilde\Omega$, el doble de la que tiene una bien estudiada la representación.

Por último, hay que recordar que como un hecho general, el dual de un producto de dos espacios de Banach, dotado con la suma de norma, es el producto de los duales, con su max-norma; y que el dual de un subespacio $Y$ de un espacio de Banach $X$, es isométricamente el cociente de la dual sobre la annichilator: $Y^* \sim X^*/Y^{\perp}$.

edit. Por supuesto, si la singularidad de la representación no es relevante para usted, usted puede saltarse el cociente. Por lo tanto, lineal funcionales $\phi$ a $C^0_b(\tilde\Omega)$, producen todos lineal continua y funcionales en $C^\alpha(\Omega)$ a través de
$$\left\langle \phi, \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^\alpha}\right\rangle\ ,$$ for $u\C^\alpha(\Omega)$.

Answer 2

Tu pregunta puede ser interpretado de varias maneras, pero supongo que se preguntan "es un espacio conocido, o simplemente un extraño nuevo espacio de Banach?"

Si $\Omega=R^n$ e $s$ es no entera, el doble de $C^s$ es conocido en el anterior sentido (casi). De hecho, uno puede identificar a $C^s$ con el Besov espacio de $B^s_{\infty,\infty}$, y duales de espacios de Besov se han estudiado bien. El resultado exacto es: indicar con $\dot C^s$ el cierre de las Schwartz espacio de la rápida disminución de las funciones en $C^s$,, a continuación,$(\dot C^s)'=B_{1,1}^{-s}$. Apuesto a resultados similares debe ser cierto también en la más abierta en general conjuntos de $\Omega$ pero no estoy seguro. Un buen punto de partida son Triebel libros (Teoría de la Función de los Espacios de I, II y III).