Cuando nos pulsar una cuerda, que vibra en todos los posibles modos de vibraciones. La frecuencia más baja posible es la frecuencia fundamental y es la parte más significativa de sonido.
Pero, ¿por qué la amplitud de los armónicos superiores a disminuir? La fórmula es el responsable?
También, ¿cómo es la energía de ola distribuido entre los diferentes modos?
Una búsqueda de Google no dio explicó respuesta.
¿Por qué no calcularlo?
Considere una cadena de longitud $L$, con sus extremos fijos en $x=\pm\frac{L}{2}$. Supongamos por la conveniencia de que en el momento $t=0$ la cadena es "arrancado" a $x = 0$, por lo que la cadena de desplazamiento con respecto a su posición de equilibrio está dada por $$f(x)=A\left|1-\frac{2x}{L}\right|.$$
La onda estacionaria soluciones a la ecuación de onda de obedecer a las condiciones de frontera son $$\psi_n(x)=\cos\left(\frac{(n-\frac{1}{2})2\pi x}{L}\right) $$ con $n\ge1$, $n=1$ correspondiente a la fundamental, $n=2$ para el tercer armónico, $n=3$ a la quinta armónica y así sucesivamente. Tenga en cuenta que yo no he incluido el extraño soluciones (incluso armónicos) aquí, debido a que estos modos no estar emocionado desde $f(x)$ es incluso.
Es un sencillo ejercicio para demostrar que $\psi_n$ son ortogonales: $$\int\limits_{-L/2}^{L/2}\psi_m(x)\psi_n(x)dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}$$ donde $\delta_{mn}$ es el delta de Kronecker. Si $$f(x)=\sum\limits_{m=1}^\infty a_m\psi_m(x),$$ multiplicando por $\psi_n$, la integración y el uso de la ortogonalidad de la relación de los rendimientos $$a_n = \frac{2}{L}\int\limits_{-L/2}^{L/2}f(x)\psi_n(x)dx=\frac{4A}{L}\int\limits_{0}^{L/2}\left(1-\frac{2x}{L}\right)\cos\left(\frac{(n-\frac{1}{2})2\pi x}{L}\right)dx.$$ La evaluación de la integral da $$a_n=\frac{2A}{\pi^2\left(n-\frac{1}{2}\right)^2}.\tag{1}$$ De modo que la amplitud de los armónicos disminuye aproximadamente como $1/n^2$.
Usted encontrará que si usted arrancar la cadena más cerca de los extremos, la amplitud de los armónicos va más lentos, es decir, hay más "matices". Específicamente, si se puntea la cuerda a una distancia de $\ell$ desde uno de los extremos, las amplitudes son $$ b_n = \frac{2AL^2}{\pi^2\ell(L-\ell)n^2}\sin\left(\frac{n\pi\ell}{L}\right)\tag{2}$$ donde el seno del factor de cuentas para el más lento decaimiento de $b_n$ cuando $\ell$ es pequeña. $(2)$ es más general que la $(1)$ como también es válido cuando la cadena no está arrancado en el medio, y también es consistente con la forma de una cuerda de guitarra es normalmente recogido.
Nota: el significado de $n$ en $b_n$ es distinta a la de antes: aquí, $n=1$ es el fundamental, $n=2$ es el segundo armónico, $n=3$ es el tercer armónico y así sucesivamente. La diferencia es debido a que cuando se puntea la cuerda en el medio, los armónicos no se excita.
Como para la distribución de energía, la energía en el $n$'th es armónico $$ E_n = \frac{1}{4}M\omega_n^2b_n^2 = \frac{1}{4}M\omega_1^2n^2b_n^2$$ donde $M$ es la masa total de la cadena y $\omega_n=n\omega_1$ es la frecuencia angular de la $n$'th armónico.
La respuesta es realmente muy dependiente de cómo coger la cuerda. Si usted tira de él más cerca del centro, poner más energía en los modos inferiores. Tira de él cerca de los extremos, y tiene más armónicos superiores.
Y luego está la insinuación técnicas, que intencionalmente silenciamiento inferior armónicos, dejando sólo a los armónicos superiores.
Es muy sencillo de conservación de la energía. Con un aumento en los armónicos de la frecuencia de vibración de la cuerda aumenta. Sabemos que cada partícula de la cuerda es la ejecución de una simple armónico movimiento con energía: $e=\frac{1}{2}m{\omega}^2A^2$
Tenemos una distribución continua de tales masas oscilantes, cada oscilante con diferentes amplitudes. La integración de ellos daría la energía total y obviamente, que también serían dependientes de la frecuencia.
Ahora desde el dispositivo que utilizamos para hacer oscilar la cadena de suministros en un fijo de la energía, como la armónica aumenta, la amplitud debe caer.
Una respuesta simple: la energía total de la vibración tiene que ser finito.
Dado que tenemos un número infinito de posibles modos de vibración (no sólo los armónicos, pero vamos a empezar con ellos), que necesitan de alguna distribución de la energía entre algunos de ellos (en el fin de escuchar algo del todo) y se obtiene menos energía a la izquierda para los más altos.
p.s. no siempre se obtiene la máxima amplitud de la frecuencia básica, que depende de un montón de factores y hay técnicas para cambiar el contenido de armónicos del tono para la mayoría de los instrumentos de cuerda. Pero usted todavía consigue unos modos de vibración de conseguir la mayoría de la energía.
Como es a menudo el caso en la física, cuando las propiedades de la vibración de la cuerda se describen invariablemente la cadena es tratada como una visión idealizada de la cadena. Entre estas idealizaciones: la cadena es tratada como infinitamente flexible. Para la parte inferior de los armónicos el error introducido por el que la simplificación es aceptablemente pequeño.
Que simplicación falla para los armónicos superiores.
En, digamos, una guitarra, la armónica más baja vibración puede ir hasta una amplitud de un par de centímetros más o menos. Ahora la imagen de una sección de guiter cadena de corte, digamos, a una 1/16 de la longitud total entre el puente y la tuerca. Ejemplo de una sección corta de la cadena es bastante dura, las propiedades elásticas son más parecidos a los de un palo de esos de una visión idealizada de la cadena. Aunque es posible excitar el 16 de armónicos, la amplitud puede excitar es limitado.
Por tanto, incluso si su cadena de depilación es muy cerca del puente no cantidad de energía va en emocionantes armónicos superiores; la cadena no es lo suficientemente flexible para que eso suceda.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
