¿Existe un no-cuadrado número de los cuales es el de residuos cuadráticos de cada prime?

Question

Quiero saber si existe una no-plaza de número de $n$ que es la cuadrática de los residuos de cada primer. Sé que es muy elemental, y creo que ese tipo de número no existe, pero no sé
cómo probar.

Answer 1

Esto es en realidad una escuela primaria consecuencia de la reciprocidad cuadrática, la generalización de la conocida prueba a la de Euclides que son infinitamente muchos los números primos de la forma $4k+3$ (es decir, de los números primos de los cuales, $-1$ no es un residuo cuadrático). Queremos mostrar que existe $p$ tal que $(n/p) = -1$. [Como dijo Pablo, la pregunta sólo para $(n/p) \neq +1$, pero esto es trivial (si $n = -1$, tome $p=3$; de lo contrario, deje $p$ ser un factor de $n$), así que vamos a excluir el un número finito de factores primos $p$ de %de$n$.] Por QR existe un trivial homomorphism $\chi: ({\bf Z} / 4n{\bf Z})^* \rightarrow \lbrace 1, -1 \rbrace$ tal que $(n/p) = \chi(p)$ para todos los números primos $p \nmid 2n$. Deje $a$ ser cualquier entero positivo coprime a $4n$ tal que $\chi(a) = -1$. A continuación, tenemos una factorización en primos $a = \prod_j p_j$, y $\prod_j \chi(p_j) = \chi(a) = -1$. Por lo tanto, $\chi(p_j) = -1$ para algunos $j$, QED.

Como en Euclid podemos repetir este argumento para construir infinidad de distintos $p$ para que $(n/p) = -1$.

Answer 2

Esto se desprende de la Chebotarev densidad teorema, o desde la más temprana y más fácil Frobenius densidad teorema. El polinomio $f(x):=x^2-n$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$, por lo que estos teoremas de densidad implica que el mod $p$ de reducción de $f(x)$ es irreductible para una infinidad de números primos $p$ (de hecho: la mitad de todos los números primos $p$).

Sería interesante saber una prueba de que no se basan en estos densidad de teoremas.

Answer 3

Deje $a$ ser cualquiera que no son cuadrados. A continuación, escriba $a=p^nm$ por alguna extraña $n$ y prime $p$ que no divide $m$. Por parte del Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas y el Teorema del Resto Chino podemos encontrar un primer $q$ que es $1\mod 4$, $(q|p)=-1$, y $1\mod l$ para cada uno de los prime $l$ dividiendo $m$. A continuación, por la reciprocidad cuadrática, $(a|q)=(p|q)^n(m|q)=(q|p)^n=-1$ (donde $(\cdot|l)$ es el símbolo de Legendre modulo $l$).

Answer 4

Un Chebotarev libre de argumento es dada por nuestro propio @Pete L Clark aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/6976/proving-that-an-integer-is-the-n-th-power