Deje $A$ ser simétrica matriz cuadrada con entradas en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para un primer $p$ de tal manera que todas las entradas de su diagonal son cero. ¿Existe siempre un vector $x$ con todas las coordenadas distinto de cero en la imagen de $A$? (esto es cierto para $p=2$, pero no sé la respuesta para otros valores de $p$)
Respuesta
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Esto es falso. Deje $c$ ser una ecuación cuadrática nonresidue modulo $p$. Nuestra matriz se $(p^2-1) \times (p^2-1)$, con filas y columnas indexadas por pares $(x,y) \in \mathbb{F}_p^2 \setminus \{ (0,0) \}$.
Nuestra matriz se define por $$A_{(x_1,y_1) \ (x_2, y_2)} = x_1 x_2 - c y_1 y_2.$$ Obviamente, esto es simétrica. Desde $c$ es un nonresidue, tenemos $x^2-cy^2 \neq 0$ para $(x,y) \in \mathbb{F}_p^2 \setminus \{ (0,0) \}$, por lo que las entradas de la diagonal son cero.
Cada columna de esta matriz es una función lineal de la $(x,y)$. Así que cada vector de la imagen de esta matriz es una función lineal $\mathbb{F}_p^2 \setminus \{ (0,0) \} \longrightarrow \mathbb{F}_p$ y, por lo tanto, toma el valor de $0$ en algún lugar.
Podríamos hacer un pequeño $(p+1) \times (p+1)$ ejemplo sólo por tomar un punto de $(x,y)$ en cada línea a través de $0$ en $\mathbb{F}_p^2$.
Por otra parte, afirmo que la $(p+1) \times (p+1)$ es óptimo. En otras palabras, si $A$ es $n \times n$ matriz con $n \leq p$ y un valor distinto de cero entradas en la diagonal, a continuación, algunos vector de la imagen de $A$ tiene todas las coordenadas distinto de cero. Curiosamente, no necesito la hipótesis de simetría.
Deje $W$ ser la imagen de $A$. Tenga en cuenta que $W$ no está contenida en ninguna de las coordenadas hyperplanes.
Deje $\vec{u}= (u_1,\ u_2, \ \ldots,\ u_n)$, entre todos los elementos de $W$, tener la menor cantidad de $0$ entradas. Supongamos que por el bien de la contradicción que algunos $u_i$ es $0$. A continuación, hay algunos otros $\vec{v}$ en $W$ con $v_i \neq 0$. Considerar los puntos de $(u_j : v_j)$ en $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ as $j$ rangos de todos los índices de donde $(u_j, v_j) \neq (0,0)$. Hay menos, a continuación, $p+1$ tales $j$, por lo que algunos punto de $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ no se alcanza, se $(a:b)$. A continuación, $-b \vec{u} + a \vec{v}$ es de $W$ y tiene menos distinto de cero entradas de $\vec{u}$, una contradicción.
