Ya no sé exactamente qué partes de Lawvere del artículo tiene dificultades, esta respuesta es un poco larga e intenta dar un poco de contexto. Si quieres ser más específico en algún momento, lo dices.
Clásicamente, el espectro de un anillo de $A$ puede ser definido como el conjunto de su primer ideales equipado con la topología de Zariski. Este espacio topológico, a continuación, tiene la siguiente característica universal: Para cualquier localmente anillado espacio de $X$ tenemos $\mathrm{Hom}_{\mathrm{LRS}}(X, \operatorname{Spec}(A)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{Ring}}(A, \Gamma(X,\mathcal{O}_X))$.
También podemos expresar esta propiedad mediante el contrario categorías $\mathrm{LRS}^{\mathrm{op}}$ e $\mathrm{RS}^{\mathrm{op}}$. Estos pueden ser interpretados como la categoría de todos los locales de los anillos (con local homomorphisms), respectivamente, como la categoría de los anillos – en la que "todos" significa que no sólo es ordinario anillos están incluidos, pero también las poleas de los anillos arbitrarias de espacios topológicos. El universal propiedad, a continuación, se lee: $\mathrm{Hom}_{\mathrm{LRS}^{\mathrm{op}}}((\mathrm{Spec}(A),\mathcal{O}_{\mathcal{\mathrm{Spec}(A)}}), (X,\mathcal{O}_X)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{RS}^{\mathrm{op}}}((\mathrm{pt},A), (X,\mathcal{O}_X))$.
Esta dice que el $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}$ es el universal localización de $A$, que es el universal (inicial) de manera que se dé $A$ a un anillo local. (En contraste, si usted restringir su búsqueda a los anillos, es decir, las poleas de los anillos en un punto del espacio, entonces este problema de optimización sólo tiene una solución si $A$ posee exactamente un primer ideal. Ver este MO respuesta por Peter Arndt para más información sobre este punto de vista.)
A partir de este resultado, es posible que desee extender a las poleas de los anillos de $\mathcal{A}$. Es decir, dada una gavilla por primicia de los anillos de $\mathcal{A}$ sobre un espacio topológico $Y$, queremos encontrar un local de la gavilla de los anillos de $\mathcal{A'}$ (vivir en algún otro espacio de $Y'$) tal que $\mathrm{Hom}_{\mathrm{LRS}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{A}', \mathcal{O}_X) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{RS}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{A}, \mathcal{O}_X)$ para cualquier local de la gavilla de los anillos de $\mathcal{O}_X$ en cualquier espacio topológico $X$.
Por el maravilloso dispositivo del lenguaje interno de un topos, para conseguirlo, basta con dar una construcción del espectro de ordinario anillo para que la universal de los bienes indicados en el comienzo puede ser comprobada incluso en constructivo de las matemáticas.
Tomado literalmente, esto no es posible. De manera constructiva, puede ser que no sea trivial anillos con ningún primer ideales, por lo que el espectro clásicamente como construido está vacía. Esto se producirá un error en el universal de la propiedad.
Sin embargo, hay un remedio. De hecho, hay varias opciones. Joyal es la de construir el espectro no como un espacio topológico, sino como un topos. (Un topos puede ser trivial incluso si no tiene ningún global de puntos, que es geométrica morfismos de $\mathrm{Set}$ en el topos.) Él hace esto mediante la especificación de un determinado sitio (de hecho, la categoría de un cierto preorder), la construcción de la gavilla topos en este sitio y la descripción de un determinado local de la gavilla de los anillos en este topos. Este topos es entonces una constructivo de reemplazo para el espacio topológico $\mathrm{Spec}(A)$, y su anillo local es el reemplazo de la estructura de la gavilla de $\mathrm{Spec}(A)$.
El uso de las maravillas del lenguaje interno, Joya de la construcción se aplica a cualquier anillo en cualquier topos y los rendimientos de un anillo local en un (nuevo) "topos". En símbolos, $\mathrm{Hom}_{\mathrm{LRT}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{JoyalSpec}(\mathcal{A}), \mathcal{O}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{RT}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ para cualquier anillo local $\mathcal{O}$ en cualquier topos ($\mathrm{(L)RT}$ es la categoría de (a nivel local) anillado toposes).
(Tenga en cuenta que la Joya de la construcción es esencialmente el mismo como Hakim en su tesis doctoral.)
Una solución diferente es no ir todo el camino a toposes, pero constructo $\mathrm{Spec}(A)$ como regional. Su marco de abre puede ser muy bien (y sin recurrir a primer ideales) se describe, es el marco de radicales ideales de $A$. La estructura de la gavilla se obtiene mediante la localización de la constante gavilla $\underline{A}$ en el filtro genérico, un cierto subsheaf de $\underline{A}$. (Un filtro es un subconjunto que cumple precisamente el doble axiomas de que de un primer ideal, por lo que en la lógica clásica de un subconjunto es un filtro si y sólo si su complemento es un alojamiento ideal.) El universal propiedad disfruta esta construcción es $\mathrm{Hom}_{\mathrm{LRL}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{LocalicSpec}(\mathcal{A}), \mathcal{O}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathrm{RL}^{\mathrm{op}}}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ para cualquier local de la gavilla de los anillos de $\mathcal{O}$ en cualquier configuración ($\mathrm{(L)RL}$ es la categoría de (a nivel local) anillado de las localizaciones). La gavilla topos sobre $\mathrm{LocalicSpec}(\mathrm{A})$ coincide con el topos de la Joya de la descripción.
Ir en un círculo completo, una variante de esta construcción es no dar el marco de abre explícitamente, pero construirlo como el álgebra de Lindenbaum de un cierto proposicional, teoría geométrica. Para cualquier teoría, hay una configuración regional cuyos puntos son precisamente los modelos de la teoría de la en $\mathrm{Set}$. En nuestro contexto, hacemos uso de la teoría geométrica de un filtro en $A$. Su álgebra de Lindenbaum es entonces una configuración regional (verificar el derecho universal de la propiedad para el espectro, incluso de forma constructiva) cuyos puntos son los filtros en $A$ – modo clásico, sus puntos están en una correspondencia uno a uno con el primer ideales de $A$. (Véase el este de matemáticas.SE de respuesta para obtener más detalles.)
Resumiendo, obtenemos una manera constructiva sensible (topos-válido) la construcción del espectro (de cualquier anillo en cualquier topos) simplemente por no tener en cuenta el espacio topológico de primer ideales (o filtros), pero teniendo en cuenta la configuración regional de los filtros.
[Nota para los curiosos: La configuración regional de primer ideales se obtiene el espectro equipadas con tv de topología. La configuración regional de desmontable primer ideales (o desmontable filtros, no importa) se obtiene el espectro equipado con el edificable topología (a veces llamado "parche topología"). En la construcción de las matemáticas, un subconjunto $U$ de un conjunto $X$ es desmontable si y sólo si para cualquier $x \in X$ bien $x \in U$ o $x \not\in U$.]
