¿Es álgebra necesario para realmente entender o disfrutar de teoría de modelos?

Question

¿Cuáles son los requisitos previos deseables para poder aprender la teoría de modelos bien? En particular, parece que las conexiones al álgebra se utilizan pesadamente sobre todo como ejemplos. Me gustaría saber si una buena comprensión del álgebra es esencial para una comprensión más profunda de la teoría modelo y si una buena comprensión de análisis y topología compensaría por falta de los anteriores.

Gracias.

Answer 1

Muchas personas en este sitio podría tener una respuesta mejor que yo. Sin embargo, voy a intentar responder a esta pregunta de todos modos.

Reivindicación 1: Álgebra es necesario un requisito previo para el comienzo de la modelo de la teoría.

Los resultados clásicos en el modelo de la teoría (por ejemplo, la compacidad, la integridad, hacia Arriba y hacia Abajo Löwenheim-Skolem) no siga, desde la clásica resultados en álgebra. Uno no necesita saber mucho acerca de los campos, grupos, anillos, et cetra adecuadamente a comprender estos conceptos. Estos teoremas son importantes para la comprensión del modelo de la teoría y son fundamentales para el campo, pero no requieren ningún formal del álgebra.

Reivindicación 2: Álgebra proporciona una gran clase de niza ejemplos para el modelo de la teoría.

Después de que se entera de los resultados clásicos en el modelo de la teoría de los mencionados anteriormente es que no es una lista exhaustiva), en mi opinión, uno debe tener ejemplos se puede jugar con. Mientras que una vez más, el álgebra no es necesario, no la comprensión de cómo el modelo de la teoría juega con estas estructuras se deja fuera de una enorme clase de ejemplos. Algunos no algebraicas ejemplos incluyen El Azar Gráfica y otros infinito gráfico de estructuras, la Aritmética de Peano, Infinitamente muchas equivalencias de clases con un número infinito de elementos, y los diferentes tipos de lineal órdenes. Mientras que uno puede pensar acerca de cómo los resultados clásicos se refieren a estas estructuras, se pierde una enorme cantidad de datos por la no comprensión de cómo interactúan con las estructuras algebraicas. La comprensión de cómo Ultraproducts trabajar con estas estructuras le dará una idea acerca de cómo funcionan, pero la comprensión de cómo ultraproducts trabajar con estructuras algebraicas ofrece una imagen más completa y dar mucho más útiles los ejemplos (en mi humilde opinión).

Reivindicación 3: Álgebra históricamente (y se podría incluso argumentar que eso sigue siendo cierto hoy en día) guiada por algunas pruebas en el modelo de la teoría.

Cuando Morley demostró su famoso Categoricity Teorema, el fondo objeto de Morley tenía en mente era la estructura de $Th((\mathbf{C}; +, \times, 0, 1))$. Los conceptos de 'algebraicas cierre' y 'trascendental' elemento son términos robado de álgebra. Además, como modelo de la teoría de progresa hacia el futuro, clásica algebraica de los conceptos de seguir apareciendo en el modelo de la teoría. Por ejemplo, Considere la posibilidad de Zil'ber la tricotomía conjetura. El hecho es, el álgebra y el modelo de la teoría tienen mucho más en común de lo que originalmente se encuentra el ojo.

Reivindicación 4: Modelo de la Teoría tiene potencialmente profundas conexiones con la Geometría Algebraica

Esta afirmación de la siguiente manera a partir de la prueba de la Mordell-Lang Conjetura por Hrushovski en todas las características. Esta prueba fue un modelo de la teoría de la prueba de un teorema de la geometría algebraica (así como la primera). Este es un momento emocionante en el campo de estudio y mientras que usted puede no necesitar saber/entender este resultado para el modelo de estudio de la teoría, es importante entender que los resultados como este son posibles (y muy interesante). Yo diría que el aprendizaje de cómo el modelo de la teoría puede ser aplicada a álgebra demuestra una profunda conexión entre los dos campos (de nuevo, en mi humilde opinión).

Reivindicación 5: sin Embargo, de nuevo, el Modelo de la Teoría no será necesario aplicar el Álgebra.

Hay otras áreas del modelo de la teoría de que en realidad no se toque el álgebra. En su pregunta, usted ha mencionado análisis y topología. Topología, aunque no de primera orderizable, realmente no dan buenos ejemplos de estructuras de estudio para el modelo de la teoría (sin embargo, el Modelo de los teóricos a partir de tiempo al tiempo de uso de la topología (véase la Piedra Espacios). Sin embargo, se puede utilizar el modelo de la teoría para el estudio de algo que se llama "Domar Topología'. En particular, O-minimality estudios (generalmente) estructuras por encima de los reales que son 'bonito'. Hay algunos hermosos fundacional teoremas de estas estructuras (por ejemplo, S-minimality se conserva bajo la primaria de equivalencia, las células de la descomposición teorema probado por Pillay, Caballero, y Stienhorn). Además, esta es un área activa de investigación (y, potencialmente, de la mina). Los resultados que aquí se necesita menos de una comprensión del álgebra y más en una comprensión de la topología, análisis, y el modelo de la teoría en general.

Reivindicación 6: no se aplica el Modelo de la Teoría es también un área activa de investigación.

Por último, debo decir que no todos los de modelo de teoría se aplica. No hay resultados interesantes en puro modelo de la teoría de los cuales todavía están siendo producidos. Por ejemplo, Byunghan Kim tiene muchos resultados en la simplicidad de la teoría, Malliaris y Sela tiene resultados sorprendentes en la clasificación general, la teoría de La Keisler Orden tiene una infinita descendente de la cadena!!).

TL;DR - En mi humilde opinión, debería aprender algo de álgebra (al menos, en algún punto).

Answer 2

Siempre he creído que los ejemplos suelen acaba de confundir a usted (aunque no siempre), teniendo siempre como propiedades específicas que son trampas ya que no se sostienen en general.

S. Sela, El futuro de la teoría de conjuntos

De hecho, la forma más fácil (contador)ejemplos en el modelo de la teoría son obtenidos de forma manual, usando básicos de la combinatoria de las ideas. Esto es para ejemplos sencillos, así como los principales ejemplos innovadores tales como Hrushovski'e nuevo conjunto mínimo. En realidad, es esta última la que inspiró el interés en estructuras algebraicas tales como Zilber los campos de cultivo.

Sin embargo, si usted no tiene el cerebro de Sela, o apuntar para un mandato de posición, es mejor probar con el resto de la palabra de que lo que hacen está de alguna manera conectado a la corriente principal de las matemáticas. Consigue $10\times\#$citas.

En los '90 era común pensar que la geometría algebraica fue el área más cercana. En los últimos años también hay otras opciones. E. g.

1. Modelo continuo, la teoría está ganando popularidad. Tiene conexiones para el análisis funcional.

2. Descriptivo de la teoría de conjuntos y el análisis funcional han interactuado con el modelo de la teoría de muchas otras maneras. Este es un ejemplo y este es un segundo muy diferentes ejemplos

3. Ha habido algunos logros importantes que conectar gratuitamente a grupos y modelo de la teoría (aunque no hay un modelo teórico de entender en el momento). Ver trabajos relacionados con la Zlil Sela.

4. Discretos combinatoria, geometría tiene algo de sorprendente que las aplicaciones del modelo de la teoría. Vemos esto, por ejemplo, a Pesar de que esto va en la dirección opuesta, todavía ayuda a demostrar que el modelo de la teoría está conectado a la corriente principal de las matemáticas.