Es la noción de punto fijo propiedad para espacios topológicos es una noción absoluta?

Question

Recordemos que un espacio topológico $X$ tiene el punto fijo de la propiedad (FPP) si cualquier función continua $f: X\to X$ tiene un punto fijo.

Es la noción de FPP para espacios topológicos es una noción absoluta? Más precisamente:

Pregunta. Es coherente que un espacio topológico $X$ tiene la FPP en $V$, pero no tiene la FPP en algunos (cardenal conservación) extensión genérica de $V$?

Answer 1

La respuesta es que la FPP no es absoluto, y de hecho, incluso la unidad de intervalo pierde la FPP en un forzando la prórroga. La unidad de intervalo famosa tiene la FPP, pero afirman que en cualquier forzando la extensión de tener un nuevo real, tales como el forzamiento de la extensión de $V[c]$ obtenido por la adición de un Cohen real, que conserva los cardenales, el modelo de terreno unidad de intervalo, ya no tiene el FPP.

Para ver esto, vamos a $X=I^V$ ser la unidad de intervalo de $V$, considerado como un espacio topológico en $V[c]$. Deje $a_n\to c$ será cada vez más una secuencia de números racionales convergentes a $c$ desde abajo, y $b_n\to c$ desde arriba. Deje $f:X\to X$ ser la pieza más sabio, el aumento lineal de la función que toma el intervalo de $[a_n,a_{n+1}]\to [a_{n+1},a_{n+2}]$ y de manera similar a $[b_{n+1},b_n]\to [b_{n+2},b_{n+1}]$. Esta función toma de tierra-modelo de reales a tierra-modelo de reales, pero por debajo de $c$, se encuentra por encima de la diagonal y por encima de $c$, se encuentra por debajo de la diagonal. Por lo que no tiene punto fijo en $X$. (Mientras tanto, tiene una extensión natural de la unidad de intervalo en $V[c]$, habiendo fijado el punto de $c$.)

Answer 2

(Debe ser un comentario, pero es demasiado largo:) Una posible respuesta a Joel respuesta a la pregunta si existe una definición de un espacio topológico cuya FPPness puede ser alterado por el forzamiento. Es decir, en la unidad de intervalo caso, tenemos $V[G]\models\neg$"[0, 1]$^V$ ha FPP," pero $V[G]$ no satisfacer "[0, 1] tiene la FPP." Así que es razonable preguntar si existe la definición de un espacio topológico que es un contraejemplo.

Arnold Miller (http://arxiv.org/abs/0806.1957) ha demostrado que existe (en relación al $Con(ZFC)$) un modelo de $V$ de % de $ZF$ en el que hay una Borel (de hecho, $F_{\sigma\delta}$) estrictamente Dedekind-conjunto finito $D$ de reales. (Aquí "estrictamente Dedekind-finito" significa "infinito, pero sin una adecuada inyectiva auto-mapa.") Un Borel código de $\alpha$ para $D$ da una razonable "definición" de $D$, y esta definición de los rendimientos de un conjunto infinito de reales en cualquier extensión genérica de $V$; ahora vamos a $\mathcal{T}$ ser la definición, "la topología discreta en el conjunto de Borel codificado por $\alpha$". Claramente una vez que añadimos un buen orden de $\mathbb{R}$ la topología definida por $\mathcal{T}$ no han FPP, pero no es obvio para mí que $\mathcal{T}$ ha FPP en $V$.

De todos modos, algo a lo largo de estas líneas podría ser interesante.