Hay una teoría de la probabilidad desarrollado en intuitionistic lógica?

Question

Desde Boole es sabido que la teoría de la probabilidad está estrechamente relacionada con la lógica.

De acuerdo a los axiomas de Kolmogorov, la teoría de la probabilidad está formulado con una (normalizado) probabilidad de medida $\mbox{Pr}\colon \Sigma \to [0,1]$ sobre un valor Booleano $\sigma$-álgebra $\Sigma$ (de eventos).

La realización de estos datos por parte de un conjunto $X$ (espacio muestral de los sucesos elementales) y de la correspondiente $\sigma$-álgebra $\Sigma(X)\subseteq P(X)$ de los subconjuntos de $X$, se obtiene una probabilidad de espacio $(X,\Sigma(X),\mbox{Pr})$.

El $\sigma$-homomorphisms $f \colon {\cal B}({\mathbb R})\to \Sigma$ (real $\Sigma$valores de las medidas) se definen en el Borel $\sigma$-álgebra ${\cal B}({\mathbb R})$ de los bienes de los conjuntos de Borel. Pueden ser realizadas por el valor real medible funciones de $F\colon X\to {\mathbb R}$ (variables aleatorias).

Me pregunto cómo esta teoría se extiende desde los clásicos a los intutionistic lógica, es decir desde el Booleano para la Heyting ($\sigma$-)álgebras y cuáles son las principales diferencias entre las dos teorías.

Donde puedo encontrar precisas descripciones de los siguientes temas:

1. Definición y propiedades de la probabilidad de medidas en un álgebra de Heyting ${\cal H}$.

2. Definición y propiedades de real ${\cal H}$valores de las medidas de $f \colon {\cal B}({\mathbb R})\to {\cal H}$.

(Ya la discreta caso sería de interés).

(Por CIERTO: Boole 1815-1864; Heyting 1898-1980; prueba de Kolmogorov 1903-1987)

Answer 1

El título de la pregunta es un poco de un nombre inapropiado, o al menos tiene el potencial de causar confision. "Intutionistic la teoría de la probabilidad" significa para mí "teoría de la probabilidad desarrollado en intuitionistic lógica". Pero usted parece estar preguntando si se puede sustituir $\sigma$-algerbas (que son álgebras Booleanas) con Hetying álgebras.

Respecto a tu primera pregunta, la idea es que de una valoración. Esto es como un valor real de la medida, sino que es definido sólo en el abierto se establece en lugar de conjuntos de Borel. El abierto de conjuntos constituyen un álgebra de Heyting, por lo que este debe proporcionar un punto de partida.

Respecto a su segunda pregunta acerca de Heyting-álgebra valores de las medidas en los conjuntos de Borel, me gustaría observar que un homomorphism $f : \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathcal{H}$ conserva complementos (porque conserva $0$, $1$, $\land$ y $\lor$), lo que significa que los factores a través de la regularización de $\mathcal{H}$ (el álgebra de boole que consta de los elementos de $\mathcal{H}$ que son cerrados bajo doble complemento). Usted podría reemplazar a $\mathcal{H}$ con su álgebra de boole de elementos regulares, o bien considerar en lugar de $\mathcal{H}$valores de las valoraciones $\mathcal{O}(\mathbb{R}) \to \mathcal{H}$.

Answer 2

Como se señaló por Andrej Bauer es bueno hacer una distinción entre el desarrollo de la teoría de la probabilidad, utilizando intuitionistic la lógica, y la fabricación de un nuevo marco para la probabilidad compatible con intuitionistic lógica.

Para aclarar, la primera preocupación del programa haciendo teoría de la medida el uso constructivo de las matemáticas. Aquí probabilidad es visto como un campo de las matemáticas sobre delimitada medidas. Creo que las primeras investigaciones a fondo en esta dirección es el Obispo y Cheng papel "constructivo teoría de la medida" (1972) y Chan "Notas sobre constructivo de la teoría de la probabilidad" (1974).

El segundo programa es más filosófica y vistas a la probabilidad como una extensión de la lógica. Para hacer que la probabilidad compatible con intuitionistic lógica de una desviación de la prueba de Kolmogorov del axiomatization es necesario. La forma más directa es definir funciones de probabilidad como de las funciones de un álgebra de Heyting. Propuestas en esta dirección se puede encontrar en

Leblanc "Probabilístico semántica para la lógica de primer orden" (1979)

Morgan & Leblanc "la Teoría de la Probabilidad, Intuitionism, la Semántica, y el Libro holandés Argumento" (1983)

van Fraassen "Probabilístico Semántica Objetivado" (1981)

Un método más reciente que utiliza la semántica de Kripke para intuitionistic lógica es

Weatherson "Desde la Clásica hasta el Intuitionistic Probabilidad" (2003)

Answer 3

Hay una teoría de la probabilidad desarrollado en Łukasiewicz lógica. Si usted entiende el francés (y si usted todavía está interesado): http://www.brunodefinetti.it/Opere/logiquedelaProbabilite.pdf