¿Por qué es "imposible" el triángulo de Penrose?

Question

Recuerdo haber visto esta forma cuando era niño en la escuela y en ese momento era bastante obvio para mí que era "imposible". Ahora lo he vuelto a ver y ya no veo por qué es imposible.. ¿Por qué un objeto como el representado en la siguiente imagen no puede ser un subconjunto de $\mathbb{R}^3$ ?

Answer 1

No puedo resistirme a publicar una respuesta basada en el logo de Stack Exchange de Matemáticas.

Añadamos algunos cubos más al logotipo para dejar claro que es un subconjunto del triángulo de Penrose (o lo sería, si fuera un objeto 3D real)

Ahora ten en cuenta que los cubos se superponen, por lo que algunos deben estar delante de otros. Pero, de hecho, cada cubo está parcialmente oculto por al menos otro cubo, de tal manera que parece estar a cierta distancia detrás de él. Se puede rodear el hexágono del logotipo original, en el sentido de las agujas del reloj, y ver que cada cubo parece estar situado más lejos de la "cámara" que el siguiente del ciclo, lo que significa que cada cubo está delante de sí mismo. No hay un "ordenamiento z" consistente que se pueda dar a las diferentes partes de la figura, y esa es una forma de ver que es imposible.

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En respuesta a algunos de los comentarios, sólo para ser explícito, el punto aquí no es sólo que los cubos se superponen entre sí. Si ese fuera el caso, sería incorrecto, ya que es posible tener disposiciones de cubos que se superponen mutuamente, como en esta imagen proporcionada por Misha Lavrov.

Sin embargo, si asumimos que el logotipo de Stack Exchange es un subconjunto del triángulo de Penrose, sabemos que los cubos no están dispuestos así. En cambio, cada cubo está colocado de forma que algunas de sus caras son coplanares con las del siguiente cubo, y cada cubo está separado del siguiente por una cierta distancia en la dirección z, donde z es perpendicular al plano de la imagen. Por lo tanto, los centros de masa de los cubos no pueden tener coordenadas z coherentes.

Como punto extra, incluso si no asumimos eso, y en su lugar asumimos que cada cubo está tan cerca del siguiente como puede estar (en la dirección z) sin que las superficies se crucen, el logo de Math.SE todavía no puede convertirse en una forma 3D consistente, como muestra la siguiente animación. Obsérvese que no se forma del todo el logotipo de Math.SE, ya que un cubo acaba por delante de todos los demás. De los seis pares de cubos vecinos, tres de ellos pueden tener coordenadas z iguales, pero para los tres pares restantes, un cubo tiene que tener inevitablemente una coordenada z mayor que el siguiente.

Como otro punto adicional, aunque no es posible incrustar el triángulo de Penrose en un espacio tridimensional normal, plano y euclidiano, sí es posible incrustarlo en curvado espacio tridimensional. El vídeo siguiente, realizado por @ZenoRogue en Twitter, muestra los triángulos de Penrose incrustados en algo llamado "geometría nula". No pretendo entender los detalles, pero es un tipo de espacio curvo tal que los triángulos de Penrose son realmente posibles.

enlace de vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=YmFDd49WsrY

pantalla:

Answer 2

Empezar en la esquina inferior izquierda, tomando vectores unitarios otonormales $\pmb i$ horizontalmente, $\pmb j$ hacia dentro a lo largo del borde inferior izquierdo del travesaño, y $\pmb k$ hacia arriba y perpendicular a $\pmb i$ y $\pmb j$ . Voy a tomar el borde largo de un miembro como $5$ veces su anchura (unitaria); el número exacto no importa. Entonces, trabajando por adición vectorial en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del borde exterior visible para volver al punto de partida, tenemos $$5\pmb i+\pmb k+5\pmb j-\pmb i-5\pmb k-\pmb j=4\pmb i+4\pmb j-4\pmb k=\pmb0,$$ que por supuesto es imposible.

Answer 3

Supongamos que la parte blanca está orientada hacia arriba. Esto es sin pérdida de generalidad, ya que sólo representa una rotación específica del conjunto, que no puede afectar a si una forma es posible o imposible.

Ahora sabemos que tanto la columna de la derecha como la de abajo (en la imagen) están en el mismo plano / nivel vertical (ya que comparten la superficie horizontal blanca).

Basándonos en la conexión entre las columnas de la izquierda y de la derecha, también sabemos que la columna de la izquierda se extiende hacia abajo desde el plano anterior (ya que está en el lado opuesto de un lado que está mirando hacia arriba).

Esto implica que al menos una parte de la columna inferior está por debajo de la columna derecha.

Pero ya hemos establecido que están en el mismo plano vertical, así que tenemos una contradicción.

Por lo tanto, esta forma no puede existir en 3D.

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Por supuesto, esto se basa en la suposición de que cada parte de la imagen rellenada con un solo color sólido representa una superficie plana (no curva) continua y las superficies adyacentes están conectadas en los mismos puntos que en la imagen y apuntan en diferentes direcciones.

Answer 4

Resulta útil -como suele ocurrir- reducir el panorama a algo más sencillo. En este caso, pensemos en tres polígonos concretos situados en $3$ -espacio: el negro, el blanco y el gris (visibles) $L$ -formas. Éstas a su vez están contenidas en tres aviones que llamaré $P_b, P_w, P_g$ respectivamente.

Ahora pensemos en cómo se cruzan estos planos, digamos, $P_b$ y $P_w$ . Tenemos una intersección visible, a saber, el borde "frontal" del cilindro inferior, donde se encuentran las propias formas blancas y negras. Sin embargo, también tenemos otra intersección: si "continuamos" la parte superior del cilindro negro $L$ , al final se encontrará con el blanco $L$ en su parte superior. Así que de hecho $P_b$ y $P_w$ se cruzan en dos líneas distintas, y en particular tienen al menos tres puntos de intersección no colineales. Pero dos planos que se cruzan en tres puntos no colineales deben ser el mismo plano, y no puede ser el caso aquí, ya que las formas blancas y negras se encuentran claramente en ángulo recto.

Answer 5

Esto sólo es imposible porque nos esforzamos por ver la tridimensionalidad en la figura.

Mientras leía las respuestas y miraba fijamente la figura, ésta dejó de ser tridimensional para convertirse en tres formas asimétricas idénticas en V que yacen en un plano. Fácilmente descriptibles, fácilmente dibujables y completamente planas.

Nuestra experiencia ha entrenado a nuestras redes neuronales ópticas para ver la tridimensionalidad, y generalmente nos sirve. En este caso, el ajuste local con el sombreado tridimensional de las esquinas choca con nuestro emparejamiento de nivel superior con figuras conocidas, y nace la tensión. Está claro que se trata de una figura trivialmente posible: aparece varias veces en la pregunta y las respuestas. Son nuestra percepción y nuestras expectativas las que están equivocadas.