En cuanto a la teoría formal de la probabilidad, ¿por qué un evento que representa una contradicción lógica (tal como $A \wedge \neg A$) siempre tienen probabilidad cero?
Yo entiendo intuitivamente por qué este es el caso, pero no veo nada en los axiomas de la probabilidad que directamente explica por qué $A \wedge \neg A$ tienen probabilidad cero (o, equivalente, por qué una tautología lógica como $A \vee \neg A$ tienen probabilidad 1).
Vemos que en la probabilidad, representan el evento $A$ como un conjunto de elementos en el espacio muestral y $\neg A$ como el complemento de $A$ en nuestro espacio de muestra. Así, en términos probabilísticos,
$$P(A \wedge \neg A) = P\left(A \cap \overline{A}\right) = P(\emptyset)$$
por la definición del complemento. Y por los axiomas de Kolmogorov, vemos que
$$P(\emptyset) = 0.$$
Su lista de axioma establece que
- Aditividad: $P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)$, donde $E_1$ y $E_2$ son mutuamente excluyentes.
Tenga en cuenta que $A \wedge \neg A$ es mutuamente exclusiva con sí mismo.
Por lo tanto, $$P(A \wedge\neg A)=P\left((A \wedge \neg A)\cup(A \wedge \neg A)\right) = P(A \wedge\neg A) + P(A \wedge\neg A) $ $
Como booleanos, boolean valores de funciones, boolean valores de variables aleatorias, o cualquier otro tipo de cosa, $A \wedge \neg A$ es la misma cosa como "falso", y $A \vee \neg A$ es la misma cosa como "verdadero".
La aplicación de este, su pregunta se reduce a
¿Por qué es $P(\text{true}) = 1$$P(\text{false}) = 0$?
Responder a esta depende de la información exacta que usted quiere que las cosas en términos de, pero básicamente $\text{true}$ es siempre verdadera y $\text{false}$ nunca es verdadera.
por ejemplo, si al $X$ es un valor booleano valores de variable aleatoria se define $P(X)$ a la media de la probabilidad de que el evento consiste exactamente en aquellas muestras donde $X$ es verdadera, entonces el $P(\text{true})$ sería la probabilidad de todo el espacio muestral.
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