Fuga de números característicos vs desaparición de la característica de las clases

Question

Un famoso resultado por Thom estados que Orientado Bordism clases están determinadas por los números característicos; en concreto, dos cerrados colectores son orientedly bordant si y sólo si tienen el mismo Stiefel-Whitney y números de Pontryagin (voy a hablar de Stiefel-Whitney para mayor brevedad). Una consecuencia inmediata es que si $M$ es un colector cerrado que tiene un no-desaparición de Stiefel-Whitney número involucran $w_k$ para algunos $k$,, a continuación, $w_k(N)\neq 0$ cualquier $N$ que es bordant a $M$; en otras palabras, esto no desapareciendo número de característica proporciona una "bordism razón" de por qué una característica de la clase debe ser distinto de cero.

Mi pregunta se refiere a la inversa. Dado un $M$, supongamos que para algunos $k$ cada Steifel-Whitney número involucran $w_k$ se desvanece, por lo que "no hay ninguna bordism razón" para que la clase no ser de fuga: es posible, entonces, encontrar una $N$ que es bordant a $M$ e ha $w_k(N)=0$? Si es así, es posible simultáneamente eliminar todas las clases que no tienen bordism razón de ser distinto de cero?

Esto parece algo que tal vez no debería esperar, ya que la característica de las clases proporcionan a menudo obstáculos para hacer la cirugía, y dos colectores se orientedly bordant exactamente cuando difieren por una secuencia finita de operaciones. Por otro lado el colector $\mathbb{CP}^n\#\overline{\mathbb{CP}^n}$ es nulo bordant aunque haya muchos que no tienen la característica de fuga de las clases para $n>1$ (la mitad del tiempo ni siquiera de spin).

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, sino más bien una instancia específica donde la respuesta es sí.

Deje $[M] \in \mathfrak{N}_*$. A continuación, $[M]$ contiene una vuelta colector si y sólo si todos los Stiefel-Whitney números de $M$ involucran $w_1$ o $w_2$ se desvanecen.

Aquí $\mathfrak{N}_* = \Omega^O_*$ es no orientada cobordism, y un spin manifold es un colector para que $w_1$ e $w_2$ son cero.

Este es el Corolario 2.4 de La estructura de la Spin cobordism anillo de Anderson, Brown Jr., y Peterson.

Answer 2

Sugiero considerar $\mathbb CP^4 \# (\mathbb CP^2 \times \mathbb CP^2)$. A continuación, todos los SW-los números que involucran $w_4$ desaparecer, pero por el otro lado tenemos a $\text{Sq}^2w_4 = w_2w_4 + w_6$ en $H^{\ast}(BSO;\mathbb F_2)$, lo que para cualquier colector con $w_4 = 0$ también contamos $w_6 = 0$. Pero $\mathbb CP^4 \# (\mathbb CP^2 \times \mathbb CP^2)$ ha trivial SW-número $w_2w_6$, así que no hay colector de cobordant que puede tener fuga $w_6$.

EDIT: Como se señaló en un comentario más abajo, esto es incorrecto.