Son G_infinity álgebras de B_infinity? Viceversa?

Question

¿Cuál es la relación entre el $G_\infty$ (homotopy Gerstenhaber) y $B_\infty$ álgebras?

En Getzler & Jones "Operads, homotopy álgebra, y las integrales iteradas de doble bucle de espacios" (un papel que no entienden bien) a $B_\infty$ álgebra se define como un gradual espacio vectorial $V$ junto con un dg-bialgebra estructura en $BV = \oplus_{i \geq 0} (V[1])^{\otimes i}$, que es un cuadrado de cero, grado uno coderivation $\delta$ de la canónica coalgebra estructura (parar aquí, hemos definido una $A_\infty$ álgebra) y asociativa de la multiplicación $m:BV \otimes BV \to BV$ que es un morfismos de coalgebras y tal que $\delta$ es una derivación de $m$.

Un $G_\infty$ álgebra es más complicado. El $G_\infty$ operad es un dg-operad cuyo subyacente gradual operad es libre y tal que su cohomology es el operad el control de Gerstenhaber álgebras. Yo creo que el operad de las cadenas en el poco 2-discos operad es un modelo para la $G_\infty$ operad. Sí?

Ahora se sabe (el famoso Deligne conjetura) que el Hochschild cochain complejo de un álgebra asociativa lleva a la estructura de una $G_\infty$ álgebra. También tiene la estructura de una $B_\infty$ álgebra. Algunos artículos discutir el $G_\infty$ estructura, mientras que otros discuten la $B_\infty$ estructura. Así que me pregunto: ¿Cómo son estas estructuras relacionadas, en este caso? En general?

Answer 1

Hay un buen resumen de la relación entre B infinito y G infinito en el primer capítulo del libro "Operads en Álgebra, Topología y Física" por Markl, Stasheff y Schnider. La respuesta corta es G infinito es el modelo mínimo para la homología de los pequeños discos operad (el G operad). B infinity es una operad de las operaciones en la Hochschild complejo. Muchas de las pruebas de Deligne la conjetura de involucrar a la construcción de un mapa entre estos dos operads.