Si $(X,d)$ es un espacio métrico y $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ es una función de Lipschitz con constante de Lipschitz $k < 1$, entonces la función $$ D(x,y) := d(x,y) + f(y) - f(x) $$ define una relación asimétrica de métrica en la $X$. Voy a denotar este procedimiento---por razones que explicaré más tarde---como la adición de un coboundary a $d$
Tenga en cuenta que si $x,y$, e $z$ los tres puntos en $X$ satisfacción $d(x,y) + d(y,z) = d(x,z)$, entonces también satisfacer $D(x,y) + D(y,z) = D(x,z)$, lo que implica que el geodesics en $(X,d)$ son también geodesics en $(X,D)$.
Pregunta. Hay ejemplos interesantes de finito o infinito gráficos de $\Gamma$ (tal vez algunos de Cayley gráfico) de tal forma que si $D$ es una relación asimétrica de métrica con la misma geodesics como el estándar de la métrica en la $\Gamma$,, a continuación, $D$ se obtiene mediante la adición de un coboundary a un múltiplo de la norma métrica?
La motivación para el problema y su título
Estoy buscando para un mayor ajuste y/o la interpretación de un teorema de la mina que generaliza lo que Gautier Berck y yo lo hice para proyectivas de Finsler métricas:
Teorema. Si $D$ es un continuo asimétrica métrica en la $n$-esfera $S^n$ para que todos los grandes círculos son geodesics, existe una (continua) de la función $f : S^n \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$ D(x,y) - D(y,x) = f(y) - f(x). $$
En otras palabras, $D$ se obtiene a partir de la (simétrica) métrico $d(x,y) := (D(x,y) + D(y,x))/2$ (para el que todos los grandes círculos son también geodesics) mediante la adición de un coboundary. Esta se asienta Hilbert cuarto problema continua asimétrica métricas en $n$-dimensiones proyectivas espacio reduciendo el problema continua, simétrica métricas tratados por Busemann, Pogorelov, y Szabo.
La lectura de un viejo papel de Kolmogorov (Sesgo de simetría de las formas y de los invariantes topológicos en el Vol.1. de su colección de obras), que es básicamente la prueba de Kolmogorov temprana de la versión de Alexander-Spanier cohomology, propuso la siguiente configuración:
Dada una relación asimétrica de métrica $D$, considere la posibilidad de la anti-simétrica de la función $g(x,y) := D(x,y) - D(y,x)$ 2 cochain. Si $D$ tiene el mismo geodesics como su simetrización, $d(x,y) := D(x,y) + D(y,x)$, el diferencial de $g$, se define como $$ \delta g \, (x,y,z) = g(y,z) - g(x,z) + g(x,y) \, , $$ se desvanece en todos los triples $(x,y,z)$ en que $y$ está entre los $x$ e $z$ (es decir, $d(x,y) + d(y,z) = d(x,z)$). Supongo que uno podría decir algo vagamente que "el diferencial de $g$ se desvanece en geodesics". En cualquier caso, esta es precisamente la condición para $D$ y su simetrización para compartir la misma geodesics
El muy flojamente, declaró la pregunta entonces sería
Bajo qué condiciones generales podemos garantizar que si el 2-cochain $g(x,y) := D(x,y) - D(y,x)$ se desvanece en todos los geodesics de la simétrica métrica $D(x,y) + D(y,x)$,, a continuación, $g$ es un cocycle o incluso un coboundary?
Uno puede incluso olvidarse de métricas, prescribir un sistema de "geodesics" en la $X$ dando un subconjunto
$$
G \subconjunto X \times X \X veces
$$
(es decir, $(x,y,z) \in G$ si $y$ está entre los $x$ e $z$) y preguntar por la condición de que un 2-cochain que se desvanece en $G$ ser un cocycle o un coboundary.
