Condiciones para una intersección de conjuntos conectados a ser conectado.

Question

Esta es la declaración original que yo quiero probar:

Conjetura: Vamos a $A$ e $B$ ser abierto conjuntos conectados en $\mathbb R^2$ con la habitual métrica que $A \cap B \neq \emptyset$. A continuación, $\partial A \cap \partial B = \emptyset \Longrightarrow$ $A \cap B$ está conectado.

Es una simple declaración, pero no puedo encontrar una prueba ni un contra ejemplo. Todas las ideas son bienvenidas!

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Actualización 0:

Algunos comentarios acerca de este ser un general topológico resultado me hizo darme cuenta de que un ejemplo de espacio donde esto no es importante como motivación.

He aquí un ejemplo simple de este tipo de espacio:

Considere el círculo de $S^1 = \mathbb R / \mathbb Z$ y los intervalos de $A = (\frac{2}{8}, \frac{7}{8})/ \sim$ e $B = (\frac{-3}{8}, \frac{3}{8})/ \sim$ ($\sim$ es la equivalencia en relación con la definición de la circunferencia). Tenga en cuenta que cumplan las condiciones, pero su intersección no está conectado: $A \cap B =( (\frac{2}{8}, \frac{7}{8}) \cup (\frac{5}{8}, \frac{7}{8}))/ \sim$. Esto se ilustra a continuación.

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Actualización 1:

Yo venía con una versión más débil de esta declaración, que es suficiente para la aplicación que necesitas.

Débil Conjetura: Vamos a $A,B$ ser abierto conjuntos conectados en $\mathbb R^2$ tal que $A \cap B \neq \emptyset$ y cada componente de $\partial A$ e $\partial B$ es la imagen de una adecuada incrustación de $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$. A continuación, $\partial A \cap \partial B = \emptyset \Longrightarrow$ $A \cap B$ está conectado.

$\ \ \ $Prueba de:

$\quad$ En primer lugar, nos referiremos a las imágenes de la adecuada incrustaciones de $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$ como líneas. Tenga en cuenta que las líneas se divide el plano en dos componentes conectados. En el caso de que una línea de $\phi$ está conectado a un componente de la frontera de algunas conjunto conectado $U$, podemos definir a la $D(\phi)$ como el componente conectado de $\mathbb R^2 \setminus \phi$ que contiene $U$. El otro c.c. se denota $E(\phi)$. Si denotamos $\Phi_U$ la colección de todos los c.c. de $\partial U$, podemos escribir

$$U = \bigcap_{\phi_i \in \Phi_U} D(\phi_i) \qquad \ \ \ \ \ U^c = \bigsqcup_{\phi_i \in \Phi_U} E(\phi_i)\;.$$ Es importante tener en cuenta que la unión de arriba es distinto. De lo contrario, tendríamos $i_1 \neq i_2$ tal que $\phi_{i_1} \cap \phi_{i_2} \neq \emptyset$, absurdo, ya que son diferentes c.c. componentes de $\partial U$.

$\quad$ Ahora podemos comenzar la prueba. Deje $C : = A \cap B$ y supongamos $C$ tiene al menos dos vacío de los componentes conectados a $C_1$ e $C_2$. Tenga en cuenta que $C_2 \subset C_1^c = \bigsqcup_{\phi_{i} \in \Phi_{C_1}} E(\phi_i)$, por lo tanto, $\exists ! \ i_n$ s.t. $C_2 \in E(\phi_{i_n})$. Desde $\partial A \cap \partial B = \emptyset$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\phi_{i_n} \subset \partial A$. Sin embargo, $C_1 \subset A$ e $C_2 \subset A$ están contenidas en diferentes c.c. de $\mathbb R^2 \setminus \phi_{i_n}$, lo que implicaría que $A$ no está conectado, absurdo.

$\qquad$Q. E. D.

La principal pregunta queda abierta para el debate. La comprensión de la topología de $\partial U$ es todo lo que tenemos debemos concluir esto.

Answer 1

Voy a tratar de esbozar algunas ideas que pueden conducir a una prueba. La siguiente es, sin duda incompleta, también demasiado largo para un comentario. ¿Considera usted nada a lo largo de estas líneas?

Asumir por medio de la contradicción que las hipótesis se mantenga sino $A\cap B$ no está conectado. A continuación, tomar dos puntos de $x,y\in A\cap B$ en los diferentes componentes conectados. Desde conectado abierto pone en $\mathbb{R}^2$ son arcwise conectado, podemos encontrar un camino de $P_A:[0,1]\to A$ de $x$ a $y$ dentro $A$. Teniendo en cuenta que $\partial A\cap \partial B=\emptyset$, se podría asumir que la inicia en $A\cap B$, atraviesa $A\setminus B$ , y alcanza el $A\cap B$ , en ese orden:

(Para ver esto, debe ser suficiente para encontrar un máximo subinterval de $P_A^{-1}(A\smallsetminus B)$, que debe existir, de lo contrario, $B$ sería acumular a lo largo de la ruta, y nos gustaría tener un límite común punto). El punto de $a$ se encuentra en el límite de $A\cap B$: más precisamente, en $A \cap \partial(A\cap B) \smallsetminus B$.

Del mismo modo podemos encontrar un camino de $P_B:[0,1] \to B$ de $x$ a $y$ (aunque ahora no voy a tener la confianza de que puedo tener la misma propiedad que el anterior). Al menos, podemos estar seguros de que tenemos algún punto de $b$ en $B \cap \partial(A\cap B) \smallsetminus A$.

Ahora, vamos a limitarnos a una bola de $V$ contiene $x$, $y$, y los dos caminos. Es fácil de ver, ya que $A$ e $B$ están abiertas, que cada punto de $\partial (A\cap B)$ debe ser en $A\smallsetminus B$ o $B\smallsetminus A$, de lo contrario sería mentir en $\partial A\cap \partial B$. Así que (el uso de compacidad) podemos cubrir la $\partial (A\cap B)\cap\overline V$ por un número finito de separados bolas contenidas en $A$ o en $B$.

Si nos centramos en las bolas que contienen $a$ e $b$, estamos en una situación como la de la foto de abajo:

donde el rojo corresponde a $A$ y azul a $B$, y la izquierda, la pelota está completamente incluida en $B$ y la de la derecha de la bola en el interior de $A$. Esto parece bastante extraño, ya que $x$ se encuentra en (el interior de) $A\cap B$, y por lo tanto debemos ser capaces de encontrar algún punto de $\partial (A\cap B)$ en la región entre los dos caminos.