Cómo probar que $e^{zw}$ no puede ser escrito como una expresión racional en funciones en $z$ y en $w$?

Question

Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $\mathbb{C}[[z]]\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[[w]]\subset \mathbb{C}[[z, w]].$ Dado un poder formal de la serie en $t, f\in \mathbb{C}[[t]],$ hay ningún criterio simple que se concluye que la $f(zw)$ no pertenece a $K?$ sospecho que $f(zw)\in K$ si y sólo si $f(t)$ es una función racional, es decir, pertenece a $\mathbb{C}(t).$ estoy especialmente interesado en demostrar que los $e^{zw}\notin K.$

Answer 1

Teorema 1. Deje $f\in\mathbb{C}[[t]]$. A continuación, $f(zw)\in \mathbb{C}[[z]]\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[[w]]$ si y sólo si $f\in\mathbb{C}[t].$

Prueba. El "si" es obvio. Para el "sólo si" parte de asumir que el $f\notin\mathbb{C}[t]$ pero $$f(zw) = \sum_{i=1}^n g_i(z)h_i(w),$$ donde $g_i\in\mathbb{C}[[z]]$ e $h_i\in\mathbb{C}[[w]]$. Podemos suponer que $n>0$ es mínima. Si $g_i(0)=h_i(0)=0$ para todos los $i$,, a continuación, $f(0)=0$ y podemos dividir ambos lados por $zw$ en la forma obvia. Por lo tanto, $g_i(0)\neq 0$ o $h_i(0)\neq 0$ para algunos $i$. Sin pérdida de generalidad, $g_1(0)=1$, luego $$h_1(w)=f(0)-\sum_{i=2}^n g_i(0)h_i(w),$$ así que $$f(zw)=g_1(z)f(0)+\sum_{i=2}^n\bigl(g_i(z)-g_i(0)g_1(z)\bigr)h_i(w).$$ Tomando la derivada con respecto al $w$ y luego dividiendo por $z$ rendimientos $$f'(zw)=\sum_{i=2}^n\frac{g_i(z)-g_i(0)g_1(z)}{z}h_i'(w).$$ Aquí $f'\notin\mathbb{C}[t]$, pero las fracciones son elementos de $\mathbb{C}[[z]]$, contradiciendo la minimality de $n$.

Teorema 2. $e^{zw}\notin K$.

Prueba. Suponga que hay $u_i,f_j\in\mathbb{C}[[z]]$ e $v_i,g_j\in\mathbb{C}[[w]]$ tal que $$e^{zw}\sum_{i=1}^m u_i(z)v_i(w)=\sum_{j=1}^n f_j(z)g_j(w),$$ cuando las cantidades son diferentes de cero. Podemos suponer que $n>0$ es mínima, y también que $m>0$ es mínimo para esta $n$. En particular, el $u_i$'s son independientes sobre $\mathbb{C}$. Podemos suponer que algunos $v_i(0)$ o $g_j(0)$ es distinto de cero, de lo contrario, podemos dividir ambos lados por $w$ en la forma obvia. Entonces $$ \sum_{i=1}^m u_i(z)v_i(0)=\sum_{j=1}^n f_j(z)g_j(0) $$ es un elemento distinto de cero de $\mathbb{C}[[z]]$, se $h(z)$. En particular, $g_j(0)\neq 0$ para algunos $j$. Sin pérdida de generalidad $g_1(0)=1$, luego con la notación $$\tilde u_i(z):=u_i(z)/h(z)\in\mathbb{C}((z))$$ $$\tilde f_j(z):=f_j(z)/h(z)\in\mathbb{C}((z))$$ $$e^{zw}\sum_{i=1}^m \tilde u_i(z)v_i(w)=g_1(w)+\sum_{j=2}^n \tilde f_j(z)\bigl(g_j(w)-g_j(0)g_1(w)\bigr).$$ La suma en el lado derecho es independiente de $z$ porque de lo contrario nos podría contradecir la minimality de $n$ tomando el $z$derivados en ambos lados y luego multiplicar por un gran poder de $z$ a su vez elementos de $\mathbb{C}((z))$ en elementos de $\mathbb{C}[[z]]$. En cualquier caso, el lado derecho es un elemento distinto de cero $k\in\mathbb{C}[[w]]$, debido a $k(0)=g_1(0)=1$. Con la notación $$ \tilde v_i(w):=v_i(w)/k(w)\in\mathbb{C}((w))$$ llegamos a la conclusión de $$e^{-zw}=\sum_{i=1}^m \tilde u_i(z)\tilde v_i(w).$$ En particular, hay algunos entero $r>0$ tal que $$(zw)^r e^{-zw}\in \mathbb{C}[[z]]\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[[w]],$$ lo que contradice el Teorema 1. La prueba del Teorema 2 es completa.

Answer 2

Si $e^{zw}=\frac{\sum_{i=1}^{a} f_i(z)g_i(w)}{\sum_{j=1}^b u_j(z)v_j(w)}$,

$e^{zw}(\sum u_j(z)v_j(w))=\sum f_i(z)g_i(w)$

$\frac{\partial^{n}}{\partial w^n}e^{zw}(\sum u_j(z)v_j(w))=\frac{\partial^{n}}{\partial w^n}\sum f_i(z)g_i(w)$

$\sum_{k=0}^n C^k_n z^k e^{zw}(\sum u_j(z)v^{(n-k)}_j(w))=\sum f_i(z)g_i^{(n)}(w)$

Si $w=0$, $\sum_{k=0}^n C^k_n z^k(\sum u_j(z)v^{(n-k)}_j(0))=\sum f_i(z)g_i^{(n)}(0)$

Para $(f_i(z))$ finita de la familia. $N \in \mathbb{N}$ existe tal que, para todos los $(\lambda_i)$,si $\sum \lambda_i f_i(z) \neq 0$, $valuation( \sum \lambda_i f_i(z)) \leq N$.

Deje $h_{k}(z)=\sum_{j=1}^b u_j(z)v_j^{(k)}(0)$. La familia infinita $(h_0,...,h_k,...)$ tiene rango menor o igual a $b$.

Tenemos:

$$h_0 \in Vect(f_i)$$ $$zh_0+h_1 \in Vect(f_i)$$ $$z^2h_0+2zh_1 +h_2\in Vect(f_i)$$ $$z^3h_0+3z^2h_1+3zh_2+h_3 \in Vect(f_i)$$

Si $h_0=0$, una diagonal es vacío.

Si $h_1= \lambda h_0$, podemos restar $\lambda \times$ la primera línea a la segunda línea. Podemos restar $2\lambda \times$ la segunda línea a la tercera. Y a restar $k\lambda \times $ la línea de $k$ a la línea de $k+1$, etc... Una diagonal se desvanece.

Podemos suponer que la familia $(h_1,...,h_c)$ genera el infinito de la familia $(h_0,...,h_k,...)$

Si $h_d=\lambda_0 h_0 + ... \lambda_c h_c$, le restan a la $(d+i+1)$-th línea, $C^i_{d+i}/C^i_i \times \lambda_0 \times$ línea $1$-th, ...,$C^i_{d+i}/C^i_{j+i} \times \lambda_j \times$ línea $(j+1)$-th...,$C^i_{d+i}/C^i_{c+i}\times \lambda_c \times$ línea $(c+1)$-th.

La diagonal $d+1$ se desvanece.

Por lo tanto, si $c \neq 0$, la valoración no está delimitado en $Vect(f_i)$. Contradicción.

Mi respuesta no es completa.