¿Cuál es el grado del polinomio cero y por qué es así?

Question

Mi profesor dice-

El grado del polinomio cero no está definido.

Mi libro dice-

El grado del polinomio cero está definido como cero.

Wikipedia dice-

El grado del polinomio cero es $-\infty$.

Estoy totalmente confundido y quiero saber cuál es verdadero o si todos son verdaderos.

Answer 1

Bueno, depende.

La práctica matemática muestra que a veces es útil definir el grado del polinomio cero como cero, a veces definirlo como $-\infty$ y a veces dejarlo sin definir. La opción que uno elija depende de lo que uno esté tratando de hacer.

Esto es bastante diferente a lo que sucede con el grado de todos los demás polinomios, que siempre se define de la misma manera (*) Pero no pienses que si por la menor de las razones encontráramos útil cambiar la definición para hacer algo que queríamos, lo haríamos.

(*) En realidad, eso no es exactamente cierto: a veces ponemos grados en polinomios que son diferentes a los habituales, pero usualmente solo en polinomios con más de una variable.

Answer 2

Creo que tiene sentido $-\infty $. De hecho, sea $P$ un polinomio de grado $\geq 1$. Entonces, se tiene que $$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q),$$ para todo polinomio $Q$. Ahora, si defines $\deg(0)=0$, obtendrás $$\deg(0\cdot P)=0+\deg(P)>0,$$ lo cual no es compatible con la fórmula de grados. La única forma de dar sentido a esta fórmula es definir $\deg(0)=-\infty $.

Lo mismo sucede si defines $\deg(0)=-1$, la fórmula no será compatible si $\deg(P)\geq 2$.

Answer 3

Definirlo como $-\infty$ tiene más sentido.

Como se mencionó en la respuesta y comentarios de Surb, algunas propiedades de los grados se mantienen intactas de esta manera, por ejemplo,

1. $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$
2. Si $\deg P>\deg Q$ entonces $\deg(P+Q)=\deg P$

También comienza a tener más sentido si consideras expresiones que pueden tener potencias negativas también. Es decir, en lugar de $\sum_{k=0}^na_kx^k$, considera $\sum_{k=-\infty}^{n}a_kx^k$. Por lo tanto, podrías tener $3x^2+2x$ y $x+1+3x^{-2}$ y $2x^{-3}-\frac45x^{-5}$. Luego, el grado es simplemente "el supremo de todos los $k$s para los cuales $a_k\neq 0$. Los grados de estas 3 expresiones son 2, 1 y -3 respectivamente. Luego es fácil ver que 0, que no tiene coeficientes no nulos, tiene un grado de $-\infty$.

Lo mismo funciona si consideras expresiones que también pueden tener grados fraccionarios. Entonces el grado de, digamos, $3\sqrt{x}-x^{-3}$ es $1/2$.

Por supuesto, esto inspira la definición de un "grado" dual, que es el ínfimo en lugar del supremo. Luego, el grado de $3x^4+2x^3+5x^2$ será 2, y el grado de $0$ será $\infty$.

Mantener el grado de $0$ indefinido es comprensible (no todos quieren lidiar con infinitos). Definirlo como $-1$ tiene méritos (si no consideras potencias negativas, $0$ está a un paso por debajo de las constantes no nulas). Pero no tiene absolutamente ningún sentido definir el grado como $0$. El polinomio $0$ tiene tanta similitud con las constantes, como las constantes tienen con los polinomios lineales.