Un complejo simple que no es plegable, pero cuya subdivisión baricéntrica es

Question

¿Alguien conoce un complejo simple que no es plegable pero cuya subdivisión baricéntrica sí lo es?

Todo complejo colapsable es necesariamente contractible, y la subdivisión preserva la estructura topológica, por lo que ciertamente buscamos un complejo que sea contractible, pero no colapsable. Los únicos complejos que conozco que son contraibles pero no plegables son el casquete y la casa de Bing con dos habitaciones. Ninguno de ellos tiene caras libres, y por lo tanto ninguna subdivisión iterada resultará en un complejo colapsable.

Answer 1

Lickorish y Martin construido, para cada $r$ una triangulación de la $3$ -bola cuya $r$ la subdivisión baricéntrica se colapsa, pero $(r-1)$ No lo hace. La idea básica, volviendo a Furch y Bing, es triangular un cubo con un agujero anudado, donde el nudo que falta tiene un índice de puente $2^r+1$ y luego rellenar una pequeña parte del agujero, de modo que topológicamente no quede ningún agujero, sino que el $3$ -la bola ahora contiene un nudo triangulado por un solo borde.

Añadido más tarde: Kearton y Lickorish también construyó triangulaciones de la $n$ -bola, $n \ge 3$ cuyo $r$ La subdivisión baricéntrica no es plegable. Por otra parte, cada triangulación de una bola se vuelve plegable después de un número de subdivisiones baricéntricas, de acuerdo con una reciente preimpresión de Adiprassito y Benedetti (ver su Corolario 3.5).

Answer 2

Andy: ahora hay un pequeño ejemplo explícito disponible, con 15 vértices y 55 tetraedros, en caso de que aún estés interesado: es la bola 3 llamada $B_{15,66}$ en aquí . (Perdón por el enorme retraso y la desvergonzada autopromoción.)