Es un rombo rígido sobre una esfera o toro? Y generalizaciones

Question

Si un rectángulo está formado a la rigidez de las barras de los bordes y las juntas en los vértices, entonces es flexible en el plano: puede flex a un paralelogramo. En cualquier superficie lisa con una métrica, se puede definir una relación de (por ejemplo, un rectángulo), cuyos bordes son geodesics de longitud fija, y cuyos vértices son las articulaciones, y volverá a preguntar si es rígido o flexible en la superficie. Esto lleva a mi primera pregunta específica:

Q1. Es un rombo o un rectángulo, siempre flexible en una esfera?

Parece que la respuesta debe ser Sí , pero yo soy un poco incierto si debe haber una restricción en el borde de longitud. (En la figura de arriba, los cuatro arcos de cada una de las $49^\circ$ en longitud, cómodamente corta).

Q2. La misma pregunta para otras superficies: Arbitrario superficies convexas? Un toro?

Estoy especialmente interesado en saber si hay situaciones donde una vinculación que es flexible en el plano se representa rígido cuando se incrusta sobre alguna superficie. Parece que esto debería ser posible...?

Q3. De manera más general, Lamán del teorema de proporciona una combinatoria de la caracterización de la rigidez de los vínculos en el plano. El $n{=}4$ rectángulo no es rígida, ya que tiene menos de $2n-3 = 5$ bares: se necesita un 5 de barra diagonal a rigidify. Ha Laman del teorema ha extendido arbitrarias (cerrado, liso) las superficies incrustado en $\mathbb{R}^3$? Tal vez, al menos, a las esferas, o a todas las superficies convexas?

Gracias por cualquier idea o indicadores relevantes de la literatura!

Addendum. He encontrado un trabajo relacionado con mi pregunta: "La rigidez de los Marcos Apoyados en Superficies" por R. Nixon, J. C. Owen, S. C. de Energía. arXiv:1009.3772v1 de matemáticas.CO En él se demuestran un análogo de Lamán del teorema de el cilindro circular en $\mathbb{R}^3$. Si una de las frases de Lamán del teorema requieren para la rigidez que el número de aristas $E \ge 2 V - 3$ tanto en el gráfico y en todas sus subdiagramas, luego de su resultado (Thm. 5.3) es que, en el cilindro, la rigidez requiere $E \ge 2 V -2$ en el gráfico y en todas sus subdiagramas. Este no es el enunciado preciso de su teorema. También deben insistir en que el gráfico sea regular en un sentido que depende de la rigidez de la matriz de lograr la máxima rango (Def. 3.3). Se dan como ejemplos de irregulares vínculos en una esfera uno que contiene un borde con antipodal extremos, o uno que incluye un triángulo con los tres de cuyos vértices mentira en un gran círculo. Pero modulo excluyendo irregular gráficos y otras técnicas menores los detalles, en esencia reemplazar la constante de 3 en Lamán del teorema para el avión con el 2 para el cilindro.

El suyo es un trabajo muy reciente, pero contiene algunas citas relacionadas con el trabajo en las superficies, lo que sugiere que tal vez el área de los vínculos incrustados en la superficie es aún no explorado. A la luz de esta aparente escasez de información, parece apropiado que yo 'aceptar' uno de los excelentes respuestas recibidas. Gracias!

Adición [31Jan11]. Me acabo de enterar de un documento de 2010 por Justin Malestein y Louis Theran, "Genéricos combinatoria rigidez de periódico marcos" arXiv:1008.1837v2 (de matemáticas.CO), que bonito mucho soluciona totalmente el problema de las relaciones en un plano de 2 de toro, la generalización de la plana orbifolds. Obtener una combinatoria caracterización genérica mínimo rigidez para "planas de los periódicos de marcos," que abarcan estas superficies.

Answer 1

P3: Laman del teorema es la misma en la esfera.

De hecho, una configuración con $n$ vértices y $m$ bordes se define por un sistema de $m$ ecuaciones en $2n-3$ variables (hay $2n$ coordenadas de los puntos, pero podemos suponer que el primer punto fijo y la dirección de uno de los bordes desde el primer punto se fija demasiado). El de la izquierda lados son funciones analíticas de nuestras variables y los lados derechos son los cuadrados de las longitudes de las barras (en la esfera, cosenos, en lugar de cuadrados).

Considerar este sistema como un mapa de $f:\mathbb R^{2n-3}\to\mathbb R^m$. La rigidez significa que un punto genérico $x\in\mathbb R^{2n-3}$ no se puede mover dentro de la pre-imagen de $f(x)$. Esto implica que $rank(df)=2n-3$ en un abierto denso conjunto. Elija una configuración de este conjunto y la proyecta a la esfera de radio $R\to\infty$. De las ecuaciones en la esfera convergen para aquellos en el plano, por lo tanto el rango de la linealización de la esfera será máxima ($=2n-3$) para todos los gran $R$. Así, obtenemos un conjunto abierto de configuración en la esfera donde la linealización tiene el máximo rango (y esto implica rigidez). Puesto que todas las funciones involucradas son analíticos, y el rango es máximo en un conjunto abierto, es la máxima de manera genérica. Así que nuestra vinculación genéricamente es rígida en la esfera.

Por el contrario, considere la posibilidad de un flexible de vinculación en el plano. Si $m<2n-3$, va a ser flexibles en la esfera por una dimensión de conteo de argumento. De lo contrario, por Laman del teorema, existe un subgrafo con $r$ vértices y más de $2r-3$ bordes. Considere la posibilidad de un subgrafo para que $r$ es mínima. Entonces, por Laman del teorema, podemos eliminar algunos de los bordes, de modo que este subgrafo permanece rígida. Y, por el argumento anterior, es rígido en la esfera demasiado. De modo que los bordes que hemos eliminado eran redundantes, tanto en el plano y en la esfera. Vamos a olvidarnos de ellos y repita el procedimiento. Finalmente, vamos a obtener una vinculación con menos de $2n-3$ bordes.

Answer 2

No rombo en la ronda esfera es rígido, si definimos un rombo $ABCD$ a ser una unión de cuatro geodésica segmentos de $\overline{AB}\cup \overline{BC}\cup \overline{CD}\cup \overline{DA}$, de tal manera que $A$, $B$, $C$, y $D$ son todos distintos puntos, ninguna de las cuales tres son colineales, y de tal manera que todos los cuatro segmentos tienen la misma longitud, con auto-intersecciones y se superpone permitido. Supongamos $ABCD$ es un rombo. Primera nota de que la hipótesis implica que $B$ no es ni igual ni antipodal a $A$: no son iguales porque los vértices son distintos; mientras que si fueran antipodal, a continuación, $C$ tendría que ser igual a $A$ porque $A$ es el único punto en la distancia correcta de $B$. Estos hechos implican que los extremos de la línea geodésica segmentos de partida en $A$ y tienen una longitud igual a $AB$ traza un círculo, no un punto. Deje $B'$ ser cualquier punto en este círculo, y deje $C'$ ser el punto obtenidos por la reflexión de $A$ a través de la gran círculo con $B'$ e $D$. Debido a la reflexión a través de un gran círculo es una isometría, se deduce que el $AB'C'D$ es también un rombo con las mismas longitudes de los lados como $ABCD$.

Me imagino que este argumento puede ser hecho para trabajar en cualquier espacio simétrico (con una adecuada interpretación de "antipodal"), pero no tengo idea de lo que iba a pasar con más indicadores generales.

Answer 3

Esto podría ser una trampa, pero si consideramos que existe un vínculo girando alrededor de el meridiano de un toro, que no puede ser flexible. En realidad, una vinculación homeomórficos a un círculo que minimiza la longitud de su homología de la clase no es flexible.

Answer 4

El primer párrafo de Algunas notas sobre la equivalencia de primer orden de la rigidez en diversas geometrías por Franco V. Saliola y Walter Whiteley estados:

En este trabajo se exploran las conexiones entre las teorías de primer orden de rigidez de la barra y la articulación de marcos y estructuras asociadas) en diversas geometrías métricas extraídas de la subyacente espacio proyectivo de dimensión n, o $\mathbb{R}^{n+1}$. El estándar ejemplos incluyen el espacio Euclidiano, elíptica (o esférica) de espacio, espacio hiperbólico, y una métrica en el exterior del espacio hiperbólico.

Sección 4 de las notas demuestra que un marco es de primer orden rígido en la parte superior del hemisferio $S^n_+$ fib de un marco de trabajo correspondiente en $\mathbb{R}^n$ es de primer orden rígido.

La sección 5 se extiende de este a geometrías en el espacio $X^n_{c,k}=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}|\langle x,x\rangle_k=c,x_{n+1}>0\}$ donde $\langle x,x\rangle_k=x_1y_1+\cdots+x_{n-k+1}y_{n-k+1}-x_{n-k+2}y_{n-k+2}-\cdots-x_{n+1}y_{n+1}$. Tenga en cuenta que $k=1,c=-1$ es espacio hiperbólico $\mathbb{H}^n$, en el caso de $k=0,c=1$ es $S^n_+$.

Answer 5

Es evidente que existe una métrica en la esfera, en la cual están suponiendo que se aplica. Hay más de una manera de poner una buena métrica en un toro - pero creo que te refieres a un toro embebido en el espacio de tres, que no admite una buena métrica. Es necesario especificar las métricas que están asumiendo en las superficies que usted está interesado en.