Hacer convexa y la disminución de las funciones de preservar la semimartingale propiedad?

Question

Hace algún tiempo que he gastado un montón de esfuerzo tratando de demostrar que el semimartingale propiedad se conserva por ciertas funciones. Específicamente, que una función convexa de un semimartingale y la disminución de la función de tiempo es en sí mismo un semimartingale. Esto era necesario para un resultado en el que yo estaba tratando de demostrar (más detalles abajo) y finalmente se las arregló para evitar este problema, pero no fue fácil. Por dos veces continuamente diferenciable funciones esta es una consecuencia inmediata del lema de Ito, pero esto no puede aplicarse en el caso general. Después de fracasar en esta tarea, también he pasado una cantidad de tiempo considerable tratando de construir un contraejemplo, también sin éxito. Entonces, mi pregunta es la siguiente.

1) Vamos a $f\colon\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser tal que $f(t,x)$ es convexa en $x$ y continua, y la disminución en el $t$. Entonces, para cualquier semimartingale $X$ es $f(t,X_t)$ necesariamente un semimartingale?

En realidad, se puede suponer aquí que $X$ es continua y una martingala que, con un poco de trabajo, implicaría el caso general. Como resultado, esto puede ser enunciado puramente como un real análisis de la pregunta.

2) Deje $f\colon\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser tal que $f(t,x)$ es convexa en $x$ y la disminución en el $t$. Podemos escribir $f=g-h$ donde $g(t,x)$ e $h(t,x)$ son tanto convexa en $x$ y el aumento en el $t$?

Dicho así, tal vez alguien con un buen conocimiento de las funciones convexas sería capaz de responder a la pregunta de una manera o de la otra.

Para $f(t,x)$ convexa en $x$ y el aumento en el $t$, entonces la aproximación por la suave funciones y la aplicación de Ito lema nos permite expresar $f(t,X_t)$ como la suma de una integral estocástica y un creciente proceso de $$ f(t,X_t)=\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x}(s,X_s)\,dX_s+V_t,\qquad{\rm(*)} $$ así que es un semimartingale. Si, por el contrario, $f$ es la disminución en el $t$, entonces una respuesta afirmativa a la pregunta 2 se reducen a la más fácil de caso donde se está incrementando en $t$, además de dar una respuesta positiva a la primera pregunta. Explicar por qué la pregunta 1 implica 2 es un poco más complicado. Si 2 es falsa, entonces sería posible construir martingales $X$ de manera tal que la descomposición (*) sostiene que donde la variación de $V$ explota en algún momento positivo.

Este problema surgió mientras yo estaba tratando de demostrar las siguientes: es una martingala continua se determina únicamente por sus dimensiones marginales? Para arbitrario continua martingales esto es falso, pero es conocido por ser cierto para diffusions $dX_t=\sigma(t,X_t)\,dW$ para el movimiento Browniano $W$ y liso parámetro $\sigma$. La idea es salir de $\sigma$ a partir de la prueba de Kolmogorov hacia adelante ecuación. Esto es bien conocido en las finanzas como en el local de la volatilidad del modelo. Sin embargo, yo estaba tratando de mostrar algo más que esto. Todas continua y fuerte de Markov martingales se determina únicamente por el unidimensional marginales. Tuve la oportunidad de probar esta, y la relación entre los marginales y distribuciones conjuntas de la martingala tiene muchas buenas propiedades (me escribió un papel en esto, presentado a la arXiv, pero no se publican como todavía estoy trabajando en los cambios que piden los árbitros). El método fue reformular la prueba de Kolmogorov hacia atrás ecuación en términos de los marginales. Este hace uso de Ito lema, que requiere dos veces la diferenciabilidad, pero puede evitarse con un poco de integración por partes mientras $f(t,X_t)$ es un semimartingale para los tipos de funciones arriba mencionadas. La pregunta surgió de tratar, y en su defecto, para probar esto. Sin una respuesta a esta pregunta, el problema se vuelve mucho más difícil, ya que muchas de las técnicas de cálculo estocástico ya no se pueden aplicar (y, aproximándose por semimartingales no parecen ayudar a cualquiera). El trabajo alrededor estaba muy involucrado, parte de la cual publiqué como un independiente de papel aquí y en el resto de las formas más de un papel que he presentado al arXiv aquí. La suma de esos papeles, se trata tal vez de 50 páginas de matemáticas y un montón de esfuerzo para trabajar alrededor de la pregunta anterior.

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Actualización: he publicado más detalles sobre las diversas formas equivalentes de esta pregunta aquí. También he publicado un contraejemplo posible, sin pruebas, pero con algunas numérico evidencia que sugiere que de hecho puede ser un contraejemplo.

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Answer 1

Todavía no tengo idea de cuál es la respuesta a esta pregunta. Sin embargo, es posible atacar el problema de varias maneras diferentes, y hay varios diferentes (pero lógicamente equivalente) formas de exponerlo. Voy a publicar algunos de estos como una respuesta ahora, como parece más bien larga para que quepa en la declaración original de la pregunta. Tal vez una de las reformulaciones a continuación le ayudarán a llevar a una resolución del problema.

Esta respuesta es ya muy larga, y he estado tratando de acortar tanto como puedo. Yo no puedo ver ninguna manera de dar pruebas de todas las instrucciones de abajo sin hacer mucho más. Así que, yo sólo voy a dar muy pocos detalles de las pruebas aquí. Yo, sin embargo, la lista de cada una de las formulaciones equivalentes H1-H6 a continuación en el orden lógico, de manera que cada instrucción puede ser demostrado ser equivalente a la anterior sin demasiado trabajo. Vamos a empezar de instrucción 2 de la pregunta original, la que me referiré como Hipótesis (H1) para los efectos de esta respuesta.

Hipótesis (H1): Vamos a $f\colon\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser tal que $f(t,x)$ es convexa en $x$ y la disminución en el $t$. A continuación, $f=g-h$ donde $g(t,x)$ e $h(t,x)$ son tanto convexa en $x$ y el aumento en el $t$.

La descomposición en (H1) existe si y sólo si existe localmente. Dejar $I=[0,1]$ denotar la unidad de intervalo, se obtiene la siguiente declaración equivalente.

Hipótesis (H2): Vamos a $f\colon I^2\to\mathbb{R}$ ser tal que $f(t,x)$ es convexa y de Lipschitz continua en $x$ y la disminución en el $t$. A continuación, $f=g-h$ donde $g(t,x)$ e $h(t,x)$ son convexas en $x$ y el aumento en el $t$.

La verdad de esta declaración se mantiene sin cambios si se limita a las funciones ƒ que son cero en los tres bordes $I\times\{0\}$, $I\times\{1\}$, $\{0\}\times I$ de la unidad de la plaza. Voy a usar las $D$ para denotar el conjunto de funciones que satisfagan las condiciones de (H2). Entonces, cada vez que la descomposición en (H2) existe, siempre es posible elegir $g$, $h$ a ser cero en $I\times\{0\}$, $I\times\{1\}$ y $\{1\}\times I$. A partir de ahora, cada vez que la descomposición $f=g-h$ en (H2) se refiere, se entenderá que $g$, $h$ son elegidos para satisfacer estas condiciones.

Podemos fortalecer (H2) por también la colocación de un uniforme obligado en los términos $g$, $h$ en la descomposición. Aquí, $\lVert g\rVert$ denota el supremum de la norma y $f_x$ denota la derivada parcial.

Hipótesis (H3): Hay una constante $K\gt0$ tal que, para todos los $f\in D$, la descomposición, el $f=g-h$ como en H2 existe y puede ser elegido tal que $\lVert g\rVert,\lVert h\rVert\le K\lVert f_x\rVert$.

Declaración (H3) es particularmente conveniente debido a las siguientes: demostrar que (H3) sostiene, es suficiente para mirar en un subconjunto denso de funciones en $D$. Tomando límites de la descomposición sería entonces extender el resultado a todos los de $D$. Así, es suficiente para concentrarse, por ejemplo, las funciones lisas o trozos de las funciones lineales.

Luego, es útil para elegir la descomposición en (H2) para minimizar $\lVert g\rVert$ e $\lVert h\rVert$.

Lema 1: Supongamos que $f\in D$ y que la descomposición $f=g-h$, como en (H2) existe. Entonces, no hay una única máxima de la elección para $g$, $h$. Es decir, si $f=g_1-h_1$ es algún otro tipo de descomposición, a continuación, $g\ge g_1$ e $h\ge h_1$.

Me referiré a la descomposición en el Lema 1 como la descomposición óptima. Como no está claro que cualquier descomposición debe existir, voy a esbozar brevemente el argumento de ahora. La idea es discretizar el tiempo, el uso de una partición de la unidad de intervalo de $0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_r=1$. Indicar el casco convexo de una función de $u\colon I\to\mathbb{R}$ por $v=H(u)$, que es el máximo de la función convexa $v\colon I\to\mathbb{R}$ delimitador $v$ desde abajo, $$ \begin{align} v(x) &= \sup\left\{w(x)\colon w\le u{\rm\ is\ convex}\right\}\\ &=\inf\left\{\left((b-x)u(a)+(x-a)u(b)\right)/(b-a)\colon a\le x\le b\right\}. \end{align} $$ La descomposición óptima en tiempo discreto puede ser construido como funciones de $h_k\colon I\to\mathbb{R}$, a partir de la hora final $k=r$ y trabajando hacia atrás a $k=0$, $$ h_r(x) = 0,\ h_{k-1}={\rm H}\left(h_k+f(t_k,\cdot)-f(t_{k-1},\cdot)\right). $$ Interpolar esto sea seccionalmente constante en el tiempo, definiendo $h(t,x)=h_k(x)$ para $t_{k-1}\lt t\le t_k$. A continuación, $h(t,x)$ e $g\equiv f+h$ son convexas en $x$ y el aumento en el tiempo de $t$, la restricción a veces en la partición.

Lema 2: Supongamos que $f\in D$ y deje $0=t_{n,0}\lt t_{n,1}\lt\cdots\lt t_{n,r_n}=1$ ser una secuencia de particiones de la unidad de intervalo. Para cada una de las $n$ deje $h^n(t,x)$ ser la función que corresponde a la partición y constante a trozos en $t$, como se ha construido anteriormente. También podemos suponer que las particiones de la malla va a cero y, finalmente, incluir todas las veces en que $f$ es discontinuo. Entonces uno de los siguientes sostiene.

• $f$ se descompone como en (H2) y $h^n(t,x)\to h(t,x)$ pointwise en $I^2$ donde $f=g-h$ es la descomposición óptima.
• $f$ no tiene una descomposición como en (H2) y $h^n(0,x)\to-\infty$ para todos los $0\lt x\lt1$.

La idea es que, si $h^n$ tiene cualquier punto límite $h$,, a continuación, $h(t,x)$ e $g=f+h$ será convexa en $x$ y el aumento en el $t$, dando la descomposición requerida por (H2). Además, por construcción, si $f=g^\prime-h^\prime$ es algún otro tipo de descomposición, a continuación, $h^n\ge h^\prime$ a veces, en la partición, por lo $h\ge h^\prime$. Esto muestra que la descomposición es óptima y, como la descomposición óptima es única, todos los límites de límite de puntos de $h^n$ son los mismos, por lo $h^n\to h$. La única alternativa es que el $h^n$ no tiene límite de puntos, en cuyo caso la segunda declaración de la Lexema tiene. El uso de esta construcción de la descomposición óptima, (H3) puede ser demostrado ser equivalente a la siguiente.

Hipótesis (H4): Hay una constante $K\gt0$ tal que, para todas las funciones lisas $f,g\colon I^2\to\mathbb{R}$ con $\lVert f\rVert$, $\lVert g\rVert$, $\lVert f_x\rVert$, $\lVert g_x\rVert$ delimitada por 1 y $f(t,x)$, $g(t,x)$ convexa en $x$ y, respectivamente, la disminución y el aumento en el $t$, entonces, $$\int_0^1\int_0^1 f_{xx}g_t\,dxdt \le K.$$

Como esta declaración es bastante diferente de los anteriores, será mejor que me dé una explicación ahora. La idea es utilizar la integración por partes, $$ \begin{align} \int_0^1\int_0^1(f_{xx}g_t+g_{xx}f_t)\,dxdt &= \left[\int_0^1(f_xg_t+g_xf_t)\,dt\right]_{x=0}^1-\left[\int_0^1f_xg_x\,dx\right]_{t=0}^1\\ &\le 6(\Vert f_x\Vert \Vert g\Vert + \Vert g_x\Vert \Vert f\Vert). \end{align} $$ Si $f$ e $g$ están aumentando en el tiempo, a continuación, los términos en el lado izquierdo son positivos, por lo que tenemos límites para las integrales de $f_{xx}g_t$ e $g_{xx}f_t$ individualmente. Hipótesis (H3) se extiende la presente para el caso de que $f$ es decreciente en el tiempo, lo que implica (H4).

Por el contrario, supongamos que (H4) se mantiene. Dejando $f=g-h$ ser la descomposición calculada a lo largo de una partición, como se describe anteriormente, podemos utilizar el hecho de que el convex hull $v=H(u)$ de una función de $u$ satisface $v_{xx}(u-v)=0$ a conseguir la igualdad de $(h_{k-1})_{xx}(h_k-h_{k-1}+f(t_k,\cdot)-f(t_{k-1},\cdot))=0$. Esto lleva a las siguientes desigualdades,

$$ \begin{align} \frac12\Vert h\Vert^2&\le\frac12\int_0^1 h_x(0,x)^2\,dx\le\sum_{k=1}^r \int_0^1(h_{k-1})_{xx}(h_{k-1}-h_k)\,dx\\ &=-\sum_{k=1}^r\int_0^1 (h_{k-1})_{xx}(f_k-f_{k-1})\,dx. \end{align} $$ Hipótesis (H4) puede ser utilizado para acotar el término final, mostrando que $h$ no puede divergir como la malla de la partición tiende a cero, por lo que tenemos la convergencia a un óptimo de descomposición en la satisfacción de un obligado, como en (H3).

La hipótesis de ahora puede ser formulado como una declaración acerca de martingales.

Hipótesis (H5): Hay una constante $K\gt0$ tal que, para todos los $f\in D$ y martingales $0\le X_t\le1$, $f(t,X_t)$ se descompone como $M+V$ donde $M$ es una martingala y $V$ tiene variación $$ \mathbb{E}\left[\int_0^1\,\vert dV\vert\right]\le K\Vert f_x\Vert. $$

La idea es que el $g(t, x)\equiv\mathbb{E}[(X_t-x)_+]$ es convexa en $x$ y el aumento en el $t$. En el caso de que $f$, $g$ son suaves y $X$ es una martingala continua, Ito fórmula puede utilizarse para dividir $f(t,X_t)$ en una martingala plazo, más la suma de la creciente proceso de $\frac12\int f_{xx}(t,X_t)\,d[X]_t$ y la disminución de proceso $\int f_t(t,X_t)\,dt$, que tienen expectativas de $\iint f_{xx}g_t\,dxdt$ e $\iint f_tg_{xx}\,dxdt$ respectivamente.

Finalmente, mediante la adición de un azar que ocurren término de salto para cualquier semimartingale, y con un poco más de trabajo, es posible reducir esta a la martingala caso. Esto le da a la declaración solicitada en la pregunta original.

Hipótesis (H6): Vamos a $\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ ser tal que $f(t,x)$ es convexa en $x$ y continua, y la disminución en el $t$. Entonces, para cualquier semimartingale $X$, $f(t,X_t)$ es un semimartingale.

Answer 2

Lo que sigue es demasiado largo para caber en un comentario.

Algunas reflexiones sobre el segundo problema. Consideremos el problema de $t$ toma valores en el intervalo compacto $[0,T]$. El caso general, tal vez puede ser aproximada por este caso. Si el $t$ variable fueron discretos y finitos, el problema sería: tenemos una secuencia de funciones de $f_1 \ge f_2 \ge f_3 \cdots \ge f_n$ (hagamos la simplificación de la suposición de que $f_i$ son todas positivas; de lo contrario, reemplace $f_i$ con $f_i +C$ donde $C$ es $ C = -\min_{i,x} f_i(x)$), se puede encontrar la convexo y el aumento de la $\{h_i\}$ e $\{g_i\}$ tal que $f_i = h_i - g_i$? La respuesta a esta pregunta es, obviamente, sí. Por ejemplo, $h_i = \sum_{j\le i} f_i$ e $g_i = \sum_{j < i} f_i$ es una posible solución. El problema con esta solución al $t$ es continuo es que el $h_i$ e $g_i$ le iba a estallar como la discretización de $t$ es refinado. Por lo tanto, uno debe elegir $h$ e $g$ en una manera que aumentan lentamente. Cómo lentamente este aumento puede ser? Podemos empezar con $h_1 = f_1$ y $g_1 = 0$. $h_2$ y $g_2$ será de la siguiente forma: $$ h_2 = h_1 + S_2 = f_1 + S_2, $$ y $$ g_2 = g_1 + R_2 = R_2 $$ tal que: 1) $S_2, R_2 \ge 0$, 2) $h_2 = f_1 + S_2$, $g_2 = R_2$ son convexas y 3) $h_2 - g_2 = f_1 + S_2 - R_2 = f_2$. El último de estos es equivalente a $R_2 = f_1 - f_2 + S_2$. Por lo tanto, lo que estamos buscando es una función de $S_2$ la satisfacción de las condiciones anteriores. Habrá muchos de esos $S_2$, el objetivo es elegir a $S_2$ en un mínimo, de manera que la $h_i$ e $g_i$ crecen lentamente.Lo mejor sería: $S_2 = 0$, que es de hecho una solución al $f_1 - f_i$ es convexa. Si $f_0 - f_t$ es convexa para todos los $t \in [0,T]$, entonces esta solución directamente generaliza a la original de tiempo continuo problema (es decir, si $f_0-f_t$ es convexa $h(t,x) = f(0,x)$ e $g(t,x) = f(0,x) - f(t,x)$ es una solución).

Ahora, consideremos el caso cuando se $f(t,x)$ es tal que $\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(t,x)$ es continua en $(t,x)$ e $x$ también toma valores en un conjunto compacto $K$. El siguiente tipo de argumento rápidamente viene a la mente. Definir $$\tau \doteq \{t: \exists g, h:[0,t]\times K\rightarrow {\mathbb R}, f = h-g, h,g \text{ convex in } x \text{ and increasing in } t \}.$$ $0$ es claramente un miembro de este conjunto. Quizás se pueda argumentar que el $\sup \tau$ debe $T$ como sigue. Si $t_0 = \sup \tau < T$, entonces uno puede modificar ligeramente $h(t_0,x)$ e $g(t_0,x)$ a obtener las funciones de $h(t_0+\delta,x)$ e $g(t_0+\delta,x)$, cuya diferencia será $f(t_0+\delta,x)$ [la ligera modificación se hace posible por el hecho de que la segunda derivada de $f$ con respecto al $x$ apenas cambios entre el $t_0$ e $t_0 + \delta$].

Answer 3

Hola,

Quizás no he entendido completamente tu pregunta, pero creo que hay un contra-ejemplo (en un simple contextual) que se da en Protter el libro sobre Estocástico de Integración en la forma de un teorema. Es el teorema de 71, capítulo IV, sección 7 (hora Local).

Se afirmaba allí que para cualquier $\alpha \in(0,1/2)$ y continuas local martingala $X_t$,, a continuación, $Y_t=|X_t|^\alpha$ no es un semi-martingala a menos que sea un nulo el proceso.

La prueba se basa en la hora local y Tanaka-Meyer teorema.

Espero que ayude, (pero si no es así le agradecería que explicar de dónde me salió mal).

Saludos.