Esta es una muy elemental pregunta acerca de los esquemas, pero llegó en el curso de la investigación, así que vamos a tratar aquí, en lugar de MSE.
Pregunta 1: Son las fibras de una familia de complejos de variedades isomorfo como esquemas para el geométrica genérico de fibra, fuera de una unión de countably muchas subfamilias?
Que parece extravagante, así que permítanme explicar a continuación el razonamiento que me llevó a preguntar. Si mi argumento es erróneo, me encantaría saber por qué. Si, por el contrario, esto es bien conocido, yo estaría encantado de referencia, así que me pregunto:
Pregunta 2: ¿alguien sabe de una referencia publicada por este hecho, si es correcto?
Puedo solucionar el siguiente sencillo de la configuración para la concreción.
Deje $f: X \rightarrow \mathbf A^1$ ser una familia de variedades de más de $\mathbf C$.
Deje $k = \mathbf C(t)$, la función de campo de la base, y $K=\overline{k}$. Deje $G$ ser el geométrica genérico de fibra de $f$, es decir, el $K$-variedad de$ X \times_{\mathbf A^1} \operatorname{Spec K}$.
Ahora $K$ es algebraicamente cerrado, tiene características de cero, y tiene la misma cardinalidad como $\mathbf C$. Así que hay un campo de isomorfismo $\alpha: \mathbf C \simeq K$. (Como yo lo entiendo, esto depende del axioma de elección, pero eso está bien.) Así que cambio de base por $\alpha$ vueltas $G$ en una variedad de $G_\alpha$ sobre $\mathbf C$, isomorfo a $G$ como un esquema. (Bien por ahora?)
Ahora supongamos que para la concreción que $f$ es una familia de hypersurfaces en el espacio proyectivo $\mathbf P^n$, por lo que es dado por una forma de $F(x_0,\ldots,x_n;t)$ cuando la $x_i$ son coordenadas en $\mathbf P^n$ e $t$ es la coordenada en $\mathbf A^1$.
Ahora elegir cualquier número $z \in \mathbf C$ que es algebraicamente independiente de todos los coeficientes de $F$. A continuación, podemos elegir nuestro campo de isomorfismo de modo que $\alpha^{-1}$ corrige todos los coeficientes de $F$, e $\alpha^{-1}(t)=z$. Luego del cambio de base por $\alpha$ sólo tiene el efecto de la sustitución de $z$ en lugar de $t$ en la forma $F$: en otras palabras, $G \simeq G_\alpha \simeq G_z$, la fibra de $f$ sobre $z \in \mathbf A^1$.
Este argumento tiene la inquietante (para mí) como consecuencia que todos pero countably muchas fibras de $f$ son isomorfos, aunque de una manera extraña, como esquemas. (Por supuesto, no dicen que son isomorfos como las variedades más $\mathbf C$, lo cual sería absurdo.) Pero tal vez esto sólo demuestra que mi intuición acerca de esquema de isomorfismo es insuficiente. De cualquier manera, yo estaría encantado de saber!
