Que $a_i \in \{-1,1\}$ para todos #% de %#% y $i=1,2,3,...,2014$$$M=\sum^{}_{1\leq i<j\leq 2014}a_{i}a_{j}.$$%M.
Encontré esta pregunta en una Olimpiada de matemáticas y no sé cómo empezar, la respuesta es 51.
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Felix Marin
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$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, #2 \,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $$ \mbox{Ya}\quad \sum_{1\ <\ i\ <\ j\ <\ 2014}a_{i}a_{j} = \media\bracks{\pars{\sum_{i = 1}^{2014}a_{i}}^{2} - 2014}\quad\mbox{con}\quad a_{i} = \pm 1 $$
el problema se reduce a encontrar el valor mínimo de $\ds{\pars{\sum_{i = 1}^{2014}a_{i}}^{2}}$ tal que
$$ \pars{\sum_{i = 1}^{2014}a_{i}}^{2} > 2014\quad\imp\quad \verts{\sum_{i = 1}^{2014}a_{i}} > \raíz{2014} \approx 44.8876 $$
Deje $n_{+}$ el número de $a_{i}$'s que cuentan con los valores de $+1$. A continuación,
\begin{align} \sum_{i = 1}^{2014}a_{i} & = n_{+}\times 1 + \pars{2014 - n_{+}}\times\pars{-1} = 2\pars{n_{+} - 1007} \quad\mbox{which is a %#%#% number} \end{align}
Por lo tanto, estamos obligados a elegir $\color{#f00}{even}$ porque $\ds{\verts{\sum_{i = 1}^{2014}a_{i}} = \color{#f00}{46}}$ $\ds{\color{#00f}{45}}$ número. Entonces
$$ \media\pars{46^{2} - 2014} = \color{#f00}{51} $$
