motivación de las láminas ideales multiplicadoras

Question

¿Cuál es el origen de las láminas ideales multiplicadoras? Fue introducido por Nadel. Yum Tong Siu, su asesor, en su conferencia plenaria de 2002 en el icm menciona algo que surgió en el pde. http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscritos/trieste.pdf este es, en mi opinión, uno de los lugares más estándar para aprender sobre ello.

Answer 1

Hay una historia paralela de los ideales multiplicadores (especialmente de las gavillas de ideales multiplicadores no dinámicos sobre variedades algebraicas, digamos como se describe en el libro de Lazarsfeld).

Desde esta perspectiva, para $\mathfrak{a}$ una gavilla ideal en $X$ el ideal multiplicador de $(X, \mathfrak{a}^t)$ se define como sigue (suponiendo que $K_X$ es $\mathbb{Q}$ -Cartier, que siempre se mantiene si $X$ es suave). Elija $\pi : Y \to X$ una resolución de registro de $(X, \mathfrak{a})$ con $\mathfrak{a} \cdot O_Y = O_Y(-G)$ . Entonces $$ \mathcal{J}(X, \mathfrak{a}^t) = \pi_* O_Y( \lceil K_Y - \pi^* K_X - t G\rceil) $$ Estas gavillas ideales son más antiguas que el trabajo de Nadel. Por ejemplo, eran muy comunes en los trabajos de Esnault y Viehweg a principios de los años ochenta (véanse, por ejemplo, sus notas, que repasan algunos de estos trabajos Conferencias sobre teoremas de fuga ), ver también los trabajos de Kawamata y Kollar. De hecho, estas láminas y ligeras variantes aparecieron con frecuencia cada vez que se aplicaban los teoremas de desaparición de Kawamata-Viehweg a lo largo de la década de 1980. Esencialmente, la razón por la que aparecen en este contexto es la siguiente. Se quiere demostrar algún teorema de fuga del tipo Kodaira en una variedad que no es lisa o con respecto a un haz de líneas no necesariamente amplio. El ideal multiplicador permite corregir esto.

Si asume que $\mathfrak{a} = O_X$ y si se quita el $\pi^* K_X$ de la definición, entonces se obtiene una subserie de $\omega_X$ . Esta subserie apareció en el trabajo de Grauert y Riemenschneider (1970) y fue utilizada con frecuencia por Lipman en sus trabajos de los años 70, especialmente en su trabajo sobre resolución de singularidades de anillos bidimensionales excelentes (el hecho de que el submódulo multiplicador de $\omega_X$ no es igual a $\omega_X$ es una medida de las singularidades).

En el caso de que $t = 1$ y $X$ es regular, esto apareció en el trabajo de Lipman en las décadas de 1980 y 1990 (especialmente en relación con las cuestiones de cierre integral de los poderes de los ideales).

Answer 2

Aquí es un boceto de Nadel la motivación original. Resultados clásicos de Aubin y Yau implica la existencia de Kahler-Einstein métricas en los colectores con un amplio canónica y paquete de y para todos los polarisations de Calabi-Yau colectores. El método en cuestión es una continuidad método para el complejo de Monge-Ampère ecuación (véase, por ejemplo, Tian Canónico métricas en Kaehler geometría para una introducción a este material), junto con ciertos a priori $C^0$ estimaciones.

Cuando uno busca Kaehler-Einstein métricas en Fano colectores ($-K_X$ amplio), las cosas son más difíciles. En Nadel del tiempo, ciertos obstáculos eran conocidas (por ejemplo Matsushima mostró la mentira de álgebra de la automorphism grupo debe ser reductiva), pero algunas condiciones suficientes eran conocidos. Sin embargo, en Fano colectores sin Kaehler-Einstein métrica, la continuidad método debe fallar. Nadel la idea era estudiar las consecuencias de la falta de la continuidad del método. Específicamente, Nadel mostró que, si la continuidad método falla, entonces debe existir un singular hermitian métrica escritos localmente $h=h_0e^{-\phi}$ a $-K_X$ donde $h_0$ es un genuino suave hermitian métrica, y $\phi$ satisface una leve regularidad supuestos, que $h$ ha semipositive de la curvatura de la actual y $\phi$ tiene un no-trivial multiplicador ideal gavilla $\mathcal{I}(\gamma \phi)$ para todos los $\gamma \in (\frac{n}{n+1},1)$. Aquí, uno de los puntos de vista de los múltiples ideal gavilla como las funciones para las que ciertas integrales no converge (equivalentemente, si ciertas integrales convergen, la continuidad método no falla y hay un Kaehler-Einstein métrica). Por otra parte, uno puede asumir que para cualquier compacto $G\subset Aut(X)$, $h_0$ y $\phi$ se $G$-invariante.

Nadel combinado esto con su fuga resultado: $H^q(X,\mathcal{I}(\gamma \phi))=0$ para todos los $q>0$. Aquí estamos usando la $h$ es un singular hermitian métrica en $-K_X$. Esta forma de Nadel de fuga tiene fuertes consecuencias geométricas: la asociación de un $G$-invariante subscheme $Z_{\gamma}$ a $\mathcal{I}(\gamma \phi)$, esto implica que $H^q(Z_{\gamma}, \mathcal(O_{Z_{\gamma}}))=0$ para todos los $q>0$ y es igual a $\mathbb{C}$ para $q=0$. Un simple corolario es que el $Z_{\gamma}$ está conectado, así que si $G$ actúa sin puntos fijos, no puede ser de dimensión $0$. Entonces, si $X$ es de dimensión $3$, $Z_{\gamma}$ debe ser $1$ dimensiones, y Nadel mostraron $Z_{\gamma}$ debe ser un árbol de racional curvas, la existencia de lo que a veces puede ser descartada. Nadel de la construcción, por tanto, dio nuevos ejemplos de Fano colectores con Kaehler-Einstein métricas.

Uno también puede pensar multiplicador ideal poleas de la siguiente manera. Esto probablemente no es cómo Nadel pensamiento acerca de ellos en el momento, sin embargo es un poco más atractivo algebro-geométricamente. Dado un anti-canónica divisor $D$, uno, naturalmente, puede asociar un singular hermitian métrica en $-K_X$. Una propiedad de los par $(X,D)$ es si es o no es de registro canónica de algebraicamente esto significa que no es demasiado singular, analíticamente, esto indica un cierto integral converge. El multiplicador ideal gavilla asociados a $D$ refina este, esencialmente dando un esquema de la estructura del conjunto en el que la pareja $(X,\gamma D)$ no está de registro canónica, para todos los $\gamma$. Nadel de fuga, a continuación, le dice, por ejemplo, que el conjunto a que $\gamma D$ no está de registro canónica (es decir, es muy singular) está conectado. En este caso, entonces uno puede ver a Nadel el resultado en Kaehler-Einstein métricas como decir que la no-existencia de esa medida implica la existencia de una muy singular anti-canónica divisor, y por otra parte el "muy singular" locus de este divisor satisface ciertas condiciones geométricas que se pueden descartar en algunos casos (al menos en el caso de que el singular hermitian métrica en Nadel del teorema surge a partir de un anti-canónica divisor - sospecho que este es el caso, debido a cierta aproximación a los resultados).

Creo que es una buena referencia de esta es la sección $6$ de la Demailly-Kollár papel de "Semi-continuidad de la compleja singularidad de los exponentes y Kaehler-Einstein métricas en Fano orbifolds". Le explica qué es lo que he descrito anteriormente, con total precisión (da definiciones, etc.), y prueba de Nadel resultado en Kaehler-Einstein métricas de una manera más sencilla de Nadel originalmente hizo.