¿La representación de Steinberg es siempre irreducible?

Question

Deje que $ \mathbb {F}$ ser un campo. El edificio de Tits para $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ denotado $T_n( \mathbb {F})$ es el complejo simplificado cuyo $k$ -los simples son banderas $$0 \subsetneq V_0 \subsetneq \cdots \subsetneq V_k \subsetneq \mathbb {F}^n.$$ El espacio $T_n( \mathbb {F})$ es $(n-2)$ -y el teorema de Salomón-Tits dice que de hecho $T_n( \mathbb {F})$ es la homotopía equivalente a una cuña de $(n-2)$ -esferas dimensionales. La representación de Steinberg de $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ denotado $ \text {St}_n( \mathbb {F})$ es $ \widetilde {H}_{n-2}(T_n( \mathbb {F}); \mathbb {C})$ . Esta es una de las representaciones más importantes de $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ por ejemplo, si $ \mathbb {F}$ es un campo finito de características $p$ Entonces $ \text {St}_n( \mathbb {F})$ es la única representación no trivial e irreducible de $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ cuya dimensión es un poder de $p$ .

La única prueba que sé que $ \text {St}_n( \mathbb {F})$ es una representación irreducible de $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ cuando $ \mathbb {F}$ es un campo finito que utiliza la teoría de los caracteres, y por lo tanto no funciona para $ \mathbb {F}$ infinito (en cuyo caso $ \text {St}_n( \mathbb {F})$ es una representación dimensional infinita del grupo infinito $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ ).

Pregunta: Para un campo infinito $ \mathbb {F}$ es $ \text {St}_n( \mathbb {F})$ una representación irreducible de $ \text {SL}_n( \mathbb {F})$ ? Si no, ¿es al menos indecoroso?

---

Acepté una respuesta, pero estoy particularmente interesado en el campo $ \mathbb {Q}$ que no está cubierto por esa respuesta. Este caso es interesante para mí porque surge al estudiar la cohomología de $ \text {SL}_n( \mathbb {Z})$ En efecto, en este caso, el edificio Tits forma el límite de la frontera Borel-Serre del espacio simétrico asociado y la representación de Steinberg (como la definí anteriormente) proporciona el "módulo dualizador" para $ \text {SL}_n( \mathbb {Z})$ . Ver la sección 2 de mi trabajo

T. Church, B. Farb, A. Putman Una conjetura de estabilidad para la inestable cohomología de $ \text {SL}_n( \mathbb {Z})$ mapeo de grupos de clase, y $ \text {Aut}(F_n)$ en "Topología algebraica": Aplicaciones y nuevas direcciones", 55-70, Contemp. Matemáticas, 620, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI.

para un debate sobre esto y las referencias. Está disponible en mi página web aquí .

Answer 1

Considere el caso en el que $ \mathbb F$ es un campo local no aquimediano. Luego, siguiendo a Borel y Serre (Cohomologie d'immeubles et de groupes $S$ -aritméticas, Topología, 1976), se puede equipar $T_n ({ \mathbb F})$ con una topología que viene de $ \mathbb F$ . Con esta topología, la cohomología en el grado $n-2$ es de hecho irreducible, esta es la representación de Steinberg de ${ \rm SL}(n,{ \mathbb F})$ en el sentido de representaciones suaves (admisibles). Sin embargo, si se equipa $T_n ({ \mathbb F})$ con la topología de la realización geométrica de su complejo simple entonces se obtiene una representación más grande que no es irreducible (no sé si es indecomposible). Por ejemplo, para $n=2$ se obtiene el espacio de las funciones complejas en la línea de proyección $P^1 ({ \mathbb F})$ funciones de módulo constante. Por el contrario, la representación de Steinberg (en el sentido suave) es el espacio de las funciones constantes locales en las funciones constantes del módulo de la línea proyectiva.

Answer 2

Paul Broussous ha indicado la forma en que la representación de Steinberg entra en el estudio del grupo sobre un campo local no arquímico. Añadiré algunos comentarios, en formato de wiki comunitario, para tratar el cuadro más amplio y rellenar algunas referencias.

1) No me queda claro por qué en la formulación de la pregunta sólo aparece el grupo lineal especial, ya que este tipo particular de representación se presta bien a un tratamiento general de los grupos algebraicos semisimples (o reductores). En cualquier caso, el desarrollo histórico se ha centrado principalmente en sólo dos situatinos: primero los grupos finitos de tipo Lie y más tarde los grupos análogos sobre campos locales no arquímicos. Es importante considerar qué motivación hay para trabajar sobre otros campos, y especialmente qué topología podría ser relevante además de la topología discreta. Las representaciones dimensionales discretas de un grupo discreto infinito suelen ser bastante difíciles de estudiar.

2) En sus primeros trabajos, el propio Steinberg trabajó principalmente con grupos finitos (a veces en el espíritu del documento Tohoku de Chevalley de 1955). Después de experimentar con casos especiales, encontró una formulación sucinta de su construcción en una breve nota aquí . Su formulación axiomática amplía la de Chevalley, pero su tratamiento siempre requiere implícitamente un grupo finito, a fin de sumar varios subgrupos dentro del grupo de álgebra. Pero puede trabajar sobre un campo arbitrario, demostrando que su representación es irreducible precisamente cuando la característica no logra dividir el índice del "subgrupo de Borel" finito en todo el grupo. (Ha habido más trabajo a lo largo de los años sobre cómo se comporta la representación cuando no es irreducible pero el grupo es finito).

3) Aunque la construcción de Steinberg es explícita (para los grupos finitos), no es fácil obtener todos los valores de los caracteres en un campo de la característica 0. De hecho, estos valores son bonitos números enteros, calculados primero en valor absoluto por Srinivasan y luego en un trabajo posterior que aclara los signos. Steinberg demostró además en un trabajo de 1963 que sus representaciones ocurren naturalmente en el contexto de los grupos algebraicos. De hecho, hay una familia de ellas, una para cada potencia de la característica $p$ . Gradualmente, la teoría del peso más alto que involucra tanto a grupos algebraicos como finitos del tipo Lie fue desarrollada de una manera uniforme que integró la representación de Steinberg.

4) Más tarde se desarrolló una construcción alternativa utilizando el edificio Tits: ver especialmente el artículo de Curtis-Lehrer-Tits aquí pero noten que usaron una versión ligeramente diferente del edificio. Como señalan en sus $ \S8 $ hay diferentes posibilidades aquí para la topología. Pero su principal objetivo era iluminar la determinación de los valores de carácter para los grupos finitos.

En cada contexto la gente ha definido "la representación de Steinberg" de manera precisa, pero no me queda claro cuál es la generalidad óptima para tal definición.