Como Joseph O'Rourke dijo, en la curva de acortamiento de flujo puede ser usado para demostrar el teorema de los tres geodesics. Si una simple curva cerrada en una superficie de Riemann evoluciona por la curva de acortamiento de flujo y no se contraiga a un punto en el tiempo finito, entonces sin problemas enfoques de una geodésica. Este es un resultado de Grayson.
Curva de acortamiento de flujo también puede ser utilizado en una muy bonita manera de demostrar que la desigualdad isoperimétrico en dos dimensiones cerrado incrustado curvas. Esto funciona de forma más general en las superficies de Riemann, pero es muy limpio y ordenado para $\mathbb{R}^2$. Edit: Gage que originalmente se demostró que la cantidad de $\frac{L^2}{4\pi A}$ es no creciente con respecto a este flujo.
Considere la posibilidad de un cerrado incrustado inicial de la curva de $\gamma_0$ (a los que nos dan una orientación positiva), y deje $\gamma_t$ ser la solución a la curva de acortamiento de flujo. Por el Gage-Hamilton-Grayson teorema, $\gamma_t$ permanece incrustado, es suave, y se reduce a una ronda de punto en el tiempo finito, es decir, la curva se convierte en terreno a medida que se reduce a un punto y "converge" a un círculo en un buen sentido. Este es realmente un notable teorema si usted mira la espiral publicado por Joseph O'Rourke-no es obvio que una cosa debe desentrañar y se convexo. También es notable teniendo en cuenta cómo finnicky y propensos a las singularidades de la media de la curvatura de flujo y flujo de Ricci son (en las dimensiones más elevadas, al menos).
Ahora, tenemos las siguientes ecuaciones de evolución para la curva de acortamiento de flujo para la longitud de $L$, área de $A$, y la curvatura $k$ de la curva:
$$\frac{\partial L}{\partial t} = - \int_{\gamma_t} k^2\, ds$$
$$\frac{\partial A}{\partial t} = -\int_{\gamma_t} k\, ds = -2\pi$$
Las integrales son tomadas con respecto a la longitud de arco, y el segundo la igualdad en la segunda línea se sigue del hecho de que estamos considerando positivamente orientada a simple cerrada curva, para su liquidación número es 1. La primera ecuación muestra que la longitud es no creciente, y de hecho la curva de acortamiento de flujo puede ser pensado como el flujo de curvas que disminuye la longitud de "más rápido" o "más eficiente". Con la evolución de las ecuaciones, se pueden calcular
$$\frac{\partial}{\partial t}(L^2 - 4\pi A) = -2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds + 4\pi \int_{\gamma_t} k\, ds$$
$$= -2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds + 2(2\pi) \int_{\gamma_t} k\, ds$$
$$=-2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds + 2 \big(\int_{\gamma_t} k\, ds\big)^2$$
$$\leq -2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds +2\big(\int_{\gamma_t} \, ds\big)\big(\int_{\gamma_t} k^2\, ds \big) $$
$$= -2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds + 2L \int_{\gamma_t} k^2\, ds = 0$$
Por lo tanto, $L^2 - 4\pi A$ es no creciente en el tiempo con respecto a la curva de acortamiento de flujo. Como hemos mencionado antes, cerrado incrustado curvas de reducir a la ronda de los puntos, por lo $L^2 \to 4\pi A$, ya que el $L^2 = 4\pi A$ para los círculos. Por eso, $L^2 - 4\pi A \to 0$. Sin embargo, desde la $L^2 - 4\pi A$ es no creciente en el tiempo, esto significa que para $\gamma_0$, $L^2 > 4\pi A$. Esta es la desigualdad isoperimétrico en dos dimensiones cerrado incrustado curvas.
También, tenga en cuenta que se puede concluir que la $L^2 = 4\pi A$ si y sólo si la curva es un círculo. En el cálculo anterior, sólo se aplica de Cauchy-Schwarz afilado exactamente al $k$ es constante. Para un cerrado incrustado curva, esto sólo puede ser un círculo, por el hecho de que la curvatura determina una curva hasta isometría (teorema fundamental de planos de curvas).
