Análogo de la forma normal de Smith para matrices de más de $\mathbb Z[t]$

Question

Deje $R$ ser un director ideal de dominio y $A \in M_n R$. Es bien sabido que existen invertible matrices $Q$ e $S$ y una matriz diagonal $D= {\rm diag}(a_1,\dots,a_n)$ tal que

• $a_i \mid a_{i+1}$ para todos los $1 \leq i \leq n-1$, y
• D=QAS.

La matriz $D$ se llama forma normal de Smith $A$ y es único. Obviamente, esto se aplica tanto a $\mathbb Z$ e $\mathbb R[t]$.

Pregunta 1: ¿hay alguna analógica para $R= \mathbb Z[t]$? Hay alguna clasificación de las matrices de más de $\mathbb Z[t]$ hasta equivalencia?

Una pregunta relacionada es la siguiente:

Pregunta 2: ¿hay alguna clasificación de $n \times n$-matrices de más de $\mathbb Z$ hasta conjugación?

(La relación viene de observar en la matriz de $t\cdot 1_n - A$ para $A \in M_n \mathbb Z$. A continuación, la clasificación de las $A$ hasta conjugación es la misma como la clasificación de los $t\cdot 1_n-A \in M_n \mathbb Z[t]$ hasta equivalencia.)

Una obvia primer invariante es el polinomio característico. Incluso si la matriz se supone que ser simétrica, es claro para mí qué tipo de información adicional puede ser añadido.

En ese sentido, yo sé de un teorema de Latimer y MacDuffee que dice que si el polinomio característico $f$ de % de $A \in M_n \mathbb Z$ es irreducible, entonces conjugacy clases de matrices de enteros con el mismo polinomio característico son en bijection con $\mathbb Z[\alpha]$-ideal de las clases en ${\mathbb Q}(\alpha)$ donde $\alpha$ es una raíz de $f$. Sin embargo, esto parece depender de la irreductibilidad de $f$, y no sé de una extensión para el caso general. (Esto está muy bien explicado en las notas por Keith Konrad.)

Pregunta 3: ¿hay otros resultados positivos, va en la dirección del Teorema de Latimer-MacDuffee? ¿Qué pasa si el polinomio característico es un producto de dos polinomios irreducibles?

Pero tal vez sea más fácil:

Pregunta 4: ¿hay alguna caracterización en términos de la característica polinomios + adicional invariantes) de pares de matrices en $A,B \in M_n\mathbb Z$, de tal manera que $A$ e $B$ son conjugado en $M_n \overline{\mathbb F}_p$ para todos los números primos $p$ y en $M_n \mathbb C$?

Y, finalmente,

Pregunta 5: ¿hay alguna caracterización en términos de la característica polinomios + adicional invariantes) de pares de matrices en $A,B \in M_n\mathbb Z$, de tal manera que $A$ e $B$ son conjugado en $M_n \overline{\mathbb F}_p$ de una prima fija $p$ y en $M_n \mathbb C$?

(Por supuesto, la Pregunta 4 y 5 pueden ser respondidas por mirar el Jordán descomposición para cada uno de los campos por separado. Sin embargo, la pregunta es, ¿podemos hacer algo más conceptual?)

Answer 1

Para Q1 el problema es que una de las invariantes de la matriz es la (isomorpism clase de la) cokernel y cualquier $\mathbb Z[t]$-módulo generado por $n$ elementos y $n$-relaciones aparece como un invariante. Hay simplemente demasiados módulos a través de una $2$-dimensiones del anillo como $\mathbb Z[t]$.

Como para Q2 realmente no se puede esperar un classifiction incluso para las clases conjugacy de las matrices de orden finito. De hecho, ya para matrices de orden $p^m$, $p$ el primer y $m>2$, el problema es salvaje, lo que significa básicamente que cualquier completar la clasificación es en vano.

Por último (en la medida en que estos comentarios), por la parte de la Q3, donde la característica polinomio es el producto de dos polinomios irreducibles $f$ e $g$: Si $M$ es $\mathbb Z^n$ como un módulo de $\mathbb Z[t]$ a través de la matriz, a continuación, tenemos una suma directa de parte $M'\bigoplus M''\subseteq M$ donde $M'$ es la aniquilador de $f$ e $M''$ de % de$g$. Por lo tanto, $M'$ e $M''$ están dados por los ideales como en Latimer-McDuffee y puede ser considerada reservada. A continuación, $M$ es administrado por un submódulo $\overline M$ de los $M'\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z\bigoplus M"\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z$. As $M'$ and $M"$ son los núcleos de la multiplicación por $f$ resp.\ $g$ también obtenemos que $\overline M\cap M'\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z=0$ and the same for $M"\bigotimes\mathbb P/\mathbb Z$. Hence $\overline M$ es el gráfico de un isomorfismo entre submódulos $\overline M'\subseteq M'\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z$ y $\overline M''\subseteq M''\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z$. Esto significa que $\overline M'$ e $\overline M''$ son asesinados por tanto $f$ e $g$, y como ellos son relativamente primos, el núcleo de $g$ a $M'\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z$ (como así como el núcleo de $f$ a $M''\bigotimes\mathbb Q/\mathbb Z$) son finitos (y generalmente muy pequeñas). Por lo tanto, uno puede (en principio) determinar la posible $\overline M$ y que tienen que ser considerados modulo automorfismos de $M'$ y $M''$ , que se dan por unidades en su endomorfismo de los anillos (que son overorders de $\mathbb Z[t]/(f)$ resp. $\mathbb Z[t]/(g)$).

Esto a veces funciona muy bien. Por ejemplo esta es exactamente la manera de hacer la clasificación de las matrices de orden $p$ (donde $f=t-1$ y $g=t^{p-1}+\cdots+t+1$). Por otro lado estoy bastante seguro de que es como desesperado como el general conjugacy problema general $f$ e $g$.