Para cada uno de Riemann colector, se pueden construir las Levi-Civita de conexión. Mientras que esta relación es única, se puede llamar a un (Riemann) colector plano si la de Levi-Civita de conexión es plana. Sin embargo, cuando uno trata de pensar acerca de la planitud en términos de puro colectores (no colectores más tensor métrico/conexión) de la natural pregunta que surge es:
Pregunta 1 ¿existen colectores $M$ con la propiedad de que cada conexión en $M$ nunca es plana?
Pregunta 2 ¿Es posible encontrar un colector $M$ con la siguiente propiedad: para cada métrica de Riemann tensor $g$ el correspondiente Levi Civita conexión no es plana, pero todavía hay plana de torsión libre de conexiones en $M$?
Pregunta 3 ¿Es posible encontrar un colector $M$ con la siguiente propiedad: cada uno de torsión de conexión no puede ser plana, pero todavía hay algunos planos de conexiones en $M$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para la pregunta 1 : si un vector paquete admite un plano de la conexión, se trata de una representación del grupo fundamental. Por lo tanto si $TM$ admite un plano de conexión y $M$ es simplemente conectado, $TM$ es trivial. Por lo tanto, cualquier simplemente conectado a $M$ con $TM$ trivial da un ejemplo, por ejemplo,$M=\mathbb{S}^2$.
No entiendo la primera pregunta
Pregunta 1 ¿existen colectores con la propiedad de que cada conexión nunca es plana?
Porque uno puede construir, en cualquier colector, una conexión que está en algún lugar plano y en algún lugar no plana.
Pero, por supuesto, hay múltiples que no admiten plano afín a las conexiones, el simple ejemplo es la esfera de cualquier dimensión $n>1$. En realidad, en la dimensión 2, la respuesta obtenida en 1950 , creo que por Kuiper) es como sigue: cualquier nonclosed superficie admite un plano torsionfree afín de conexión, y cerró las superficies de cero característica de euler, y solo a ellos, admitir plana torsionfree conexión.
Como se ha mencionado por Julian Rosen, la respuesta a la 3ª pregunta es positivo y es en la mathoverflow discusión mencionó
Respuesta a La pregunta 2 es positivo, un ejemplo más sencillo es $S^2 \times S^1$ con los siguientes afín conexión: tome $R^3\setminus \{0\}$ y el cociente con respecto al grupo $Z$ actuando por $x\mapsto 2 x$. Desde el plano estándar de conexión es invariante con respecto a la acción, el cociente es $S^2 \times S^1$ lleva a un plano de conexión. No tiene ningún plano de la métrica de curso.
P. S. Usted pregunta fue estudiado, y las respuestas que me dieron fueron obtenidos en el marco de la denominada afín a las estructuras. Afín a la estructura de un colector es un atlas tales que los mapas de transición son transformaciones afines, es decir, están dadas por la fórmula $x\mapsto Ax+ B$ para una degenerada de la matriz $A$ y un vector $b$. La existencia de una estructura afín es equivalente a la existencia de un plano torsionfree afín de conexión.
Voy a añadir algunos detalles a las respuestas anteriores por abx, Robert Bryant (en los enlaces de la pregunta), y V. S. Matveev.
Regarging pregunta 1: simplemente conecta el colector de $M$, admite una plana de conexión a si sólo si es parallelizable.
De hecho, usted puede paralelo-el transporte de un marco, una base del espacio de la tangente) a partir de algún punto inicial $p$ a cada punto de $q$ a lo largo de cualquier curva de $\gamma$. El hecho de que la conexión es plana implica que el marco que se puede obtener en el extremo de $q$ no varían si se realiza una variación continua (homotopy) de la curva de $\gamma$; sólo depende de la homotopy clase. Pero solo hay una homotopy clase, por lo que el marco en $q$ es independiente de la elección de $\gamma$, y se obtiene una base de campos vectoriales $X_i$ que están en paralelo con respecto a la conexión: $\nabla_YX_i=0$ para todos los $X_i$ e $Y$. Para ejemplos, se observa que todas las esferas $S^n$ con $n\geq 2$ simplemente conectado, y la única parallelizable esferas son $S^1$, $S^3$ y $S^7$. Si $n$ es aún, usted puede ver rápidamente que no hay ni siquiera uno nonvanishing vector de campo, por la de Poincaré-Hopf teorema, debido a la característica de Euler es de 2.
En cuanto a la pregunta 3: Usted, además, puede demostrar que las esferas de la dimenison $n\geq 2$ no admite simétrica plano de conexiones.
En efecto, si la conexión es simétrica (cero torsión), entonces el vector de los campos que se puede obtener en última construcción conmutar: $[X_i,X_j]=0$. Ahora, desde cada una de las $X_i$ da lugar a una acción de $\mathbb R$ en el colector $M$, y las acciones de viaje, usted consigue una acción de $\mathbb R^n$ por las "traducciones" en las direcciones de los campos vectoriales $X_i$, la traducción por un vector $w\in\mathbb R^n$ siendo el resultado de viajar a lo largo de $M$ en la dirección del vector de campo $\sum_i w_iX_i$ durante una unidad de tiempo. Las órbitas de esta acción son bloques abiertos, porque la acción es localmente libre (que pueden actuar sobre un punto a "moverse" en todas las direcciones debido a que los campos vectoriales forman una base del espacio de la tangente), y sólo hay uno de esos órbita debido a $M$ tiene un componente conectado (por lo que la acción es transitiva). El único compacto $n$-colector que admite un localmente libre, transitiva Mentira grupo de acción de $\mathbb R^n$ es el $n$-toro, que no es simplemente conexa. Así que un compacto, simplemente se conecta el colector no puede tener un simétrica plana de conexión.
Respecto a la pregunta 2: A ver que $S^2\times S^1$ no admite una métrica plana, se observa que si lo hizo, entonces por Cartan-Hadamard teorema, su cobertura universal sería diffeomorphic a $\mathbb R^3$. Pero es la universalización de la cobertura es $S^2\times\mathbb R$.
Como V. S. Matveev observa en su comentario a continuación, el Cartan-Hadamard argumento también puede ser usado para demostrar que las esferas no admitir un simétrica plana de conexión.
