¿Hay alguna simple, consecuencias interesantes para motivar a los locales de Langlands correspondencia?

Question

Vamos a pretender que conocemos local Langlands en un nivel bastante alto de generalidad... es decir, sabemos que a lo largo de las líneas de:

Deje $G=\mathbf{G}(F)$ el grupo de $F$-puntos de conexión de un reductor algebraica de grupo $\mathbf{G}$ definida sobre un nonarchimedean campo local $F$ con separables algebraicas cierre de $\bar{F}$. Deje $W_F'=W_F\times SL_2(\Bbb{C})$ ser la de Weil-Deligne grupo de $\bar{F}/F$ y deje $^LG={}^LG^0\rtimes\mathrm{Gal}(\bar{F}/F)$ ser el Langlands doble de $G$ donde $^LG^0$ está conectado reductora complejo algebraicas grupo root con el dato de doble a de $G$.

Entonces existe un natural surjective mapa

$$\mathrm{Irr}(G)\twoheadrightarrow\mathrm{Hom}(W_F',{}^LG),$$

donde $\mathrm{Irr}(G)$ es el conjunto de clases de equivalencia de suave irreductible complejo de representaciones de $G$. Este mapa ha finito fibras (la $L$-paquetes), es "compatible" con una lista de operaciones: parabólico de inducción, torsión, etc, y es el único ejemplo de mapa.

Hasta donde yo sé, este es un teorema (o tal vez muy cerca de ser uno de los dos últimos?) para $GL_N$, $SL_N$, $Sp_{2N}$ y $SO_N$.

Cuando estoy tratando de explicar por qué estoy interesado en esto a alguien te voy a dar la explicación habitual a lo largo de las líneas de "queremos entender a $\mathrm{Gal}(\bar{F}/F)$, locales campo de la clase de teoría nos permite entender la abelianisation de ella en la forma $F^\times\simeq W_F^{\mathrm{ab}}$, LLC se generaliza la doble forma de este a un nonabelian configuración y nos diga un montón acerca de $\mathrm{Gal}(\bar{F}/F)$". Obviamente no vas a golpear con la correspondencia como se indicó anteriormente, pero generalmente, usted puede salir a decir "suave irreps de $GL_N(F)$ naturalmente corresponden a $N$-dim complejo representantes de $W_F'$, y que debe generalizar de una manera razonable a otros grupos".

En este punto, yo por lo general han satisfecho mi interlocutor, o que va a pedir si me pueden dar un ejemplo de lo que la LLC debe hagamos. Eso es cuando me encuentro en problemas, no sé de una sola, bastante simple, atractivo de la aplicación de la misma. En el global el caso de personas que a menudo llevan a la prueba de la FLT. Esto no es exactamente una "simple", pero al menos es bien conocida y puede resumirse como: "si FLT no tenemos una no-modular semistable de curva elíptica. Wiles, a continuación, utiliza Langlands-Tunnell como punto de partida, hace un montón de trabajo y, finalmente, muestra que cada semistable de curva elíptica es modular, por lo tanto FLT".

Así que... ¿hay algún ejemplo de los buenos ejemplos de aplicaciones de los locales de la correspondencia?

Answer 1

En el caso de $GL_{N}$, la $L$-los paquetes no son un problema, y el surjective mapa en el local de Langlands correspondencia se convierte en un bijection. En ese punto, podemos pensar permitiendo que la información fluya de la otra manera. He aquí una sencilla aplicación.

Deje $f(z)$ ser un clásico de forma modular de peso $4k+2$ para el grupo $\Gamma_{0}(4)$ (que es también un cúspide de la forma, en el nuevo subespacio, y es un eigenform de todos los operadores de Hecke). Si $L(f,s)$ es el $L$-función para$f(z)$, ¿cuál es el signo de la funcional de la ecuación de $L(f,s)$?

El signo de la ecuación funcional es siempre $1$, por la siguiente razón. Es determinado por los componentes locales de la automorphic representación $\pi$ conectado a $f$, y sólo tiene que preocuparse acerca de los componentes locales en $\infty$ (que es un discreto serie representación que contribuye un factor de $1$ a la señal debido a que el peso es $\equiv 2 \pmod{4}$), y la representación local $\pi_{2}$ a $2$. El hecho de que el nivel de la forma modular es $4$ muestra que $\pi_{2}$ corresponde (en local Langlands) a una representación $\rho : W_{\mathbb{Q}_{2}} \to GL_{2}(\mathbb{C})$ que proviene de un personaje $\chi$ de % de $W_{K}$ donde $K = \mathbb{Q}_{2}(\omega)$ es el unramified cuadrática extensión de $\mathbb{Q}_{2}$, y que este personaje tiene orden de $6$. De ello se desprende que $\rho$ proviene de una $S_{3}$ extensión de $\mathbb{Q}_{2}$, y resulta que no hay una única $S_{3}$ extensión de $\mathbb{Q}_{2}$. A partir de esto, $\rho$ y, por tanto, $\pi_{2}$ está determinada únicamente, y resulta que el local de la raíz de número de $\pi_{2}$ también $1$.

(Este hecho también fue observado por Atkin y Lehner en 1970, pero la explicación anterior nos da una más conceptual razón para que sea de verdad, en mi opinión.)

Answer 2

Eso es lo que me tienden a motivar a las cosas, no es realmente una aplicación concreta, simplemente cambiando el enfoque...

El local grupo de Galois es un profinite, por lo tanto grupo compacto. Ilustrando este grupo es difícil. Dos formas son conocidas:

1. La comprensión en términos de generadores y relaciones
2. La comprensión en términos de su representación de la categoría (Tannaka-Krein)

Clasificación 1 es conocido en algunos casos, la 2 es probablemente difícil, por lo que tener un diferente "equivalente" de la categoría a la obra con la que parece deseable.

Ahora, que han reducido la pregunta de por qué nos debe preocupar el local de Galois grupo (véase la discusión en los comentarios).