¿Cómo pueden las ondas transversales de una cuerda transportar el momento longitudinal?

Question

En general, si una onda lleva una densidad de energía $u$ con velocidad $v$ También lleva la densidad del momento $u/v$ . He visto que esto se muestra explícitamente para las ondas electromagnéticas y las ondas sonoras (longitudinales).

Sin embargo, me cuesta ver cómo la densidad de momento de una onda transversal en una cuerda puede ser algo más que cero. Los elementos de la cuerda sólo se mueven hacia arriba o hacia abajo, por lo que no pueden tener momento longitudinal. Y si calculas la fuerza sobre cualquier trozo pequeño de cuerda, su componente horizontal neta es cero. Esto sugiere que la densidad de momento y el flujo de la densidad de momento son ambos cero.

Me doy cuenta de que la contabilización de efectos de orden superior, como hacer que la onda no sea puramente transversal, o tener un estiramiento no uniforme de la cuerda, puede producir un momento longitudinal. Pero si se incluyen estos efectos, las ondas no satisfacen la ecuación de onda ideal. Tal vez tengamos que tener en cuenta efectos no lineales divertidos para obtener la respuesta correcta, pero no de las olas. Así que no creo que este enfoque sea correcto, a menos que las ondas transversales de las cuerdas sean de alguna manera únicas.

¿Cómo se encuentra la densidad de momento de una onda transversal en una cuerda? ¿Qué aproximaciones, si las hay, hay que eliminar?

Answer 1

Una derivación falsa

Podemos calcular con bastante facilidad una velocidad horizontal para la cuerda fi que suponga que que el vector de velocidad total está en todas partes normal a la cadena (esta suposición no siempre es válida, véase más adelante). La siguiente imagen ilustra el cálculo:

Tomemos dos puntos infinitesimalmente separados $x$ y $x+\mathrm{d}x$ y que el movimiento ondulatorio sea $\varphi(x,t)$ . La velocidad vertical/transversal es $v_\text{vert} = \partial_t \varphi(x,t)$ y la componente horizontal es $v_\text{hor} = -v_\text{vert}\tan(\vartheta)$ , donde $\vartheta$ es el ángulo entre la normal y la vertical, y el signo menos es porque si medimos $\vartheta$ en la dirección habitual de las agujas del reloj, entonces la velocidad horizontal apunta a $-x$ para los pequeños $\vartheta$ . Ahora $\tan(\vartheta)$ es $\frac{\varphi(x+\mathrm{d}x) - \varphi(x)}{\mathrm{d}x} = \partial_x\varphi(x)$ , por lo que obtenemos $$ v_\text{hor} = -\partial_t\varphi\partial_x\varphi$$ y si se introduce la solución sinusoidal y se toma la media temporal se obtiene exactamente el mismo resultado que para las ondas longitudinales. Sin embargo, puede protext - la ecuación de la onda transversal se derivó asumiendo no movimiento longitudinal, y este cálculo asume descaradamente algo diferente.

Una derivación lagrangiana

Curiosamente, el resultado del cálculo anterior es el correcto momento para una onda transversal pura. El Lagrangiano de una onda transversal es $$ L = \frac{1}{2}\rho (\partial_t\varphi)^2 - \frac{1}{2}\tau(\partial_x\varphi)^2$$ y la invariancia de traslación nos da una densidad de momento $$ T_{xt} = \partial_x L \partial_t \varphi = - \rho\partial_x\varphi\partial_t\varphi$$ que se conserva por el teorema de Noether.

El actual respuesta

En realidad, no hay ondas puramente transversales en una cuerda, siempre habrá ondas longitudinales secundarias generadas al intentar excitarla puramente transversalmente. El momento "verdadero" de una onda "transversal" realista es más bien la mitad de la predicción teórica, es decir $\frac{1}{2}\rho\partial_t\varphi\partial_x\varphi$ Para más información, véase "El misterio del momento de la onda perdida" [enlace pdf] de Rowland y Pask.

Answer 2

Tienes toda la razón en todo lo que has dicho. El momento es no nulo sólo si la onda tiene un modo longitudinal, que es de hecho el caso realista. Además cuando este es el caso, la ecuación de onda no es tan simple. Permíteme intentar mostrar esto.

Modo longitudinal

Supongamos que cuando está en equilibrio la cuerda, de densidad $\mu$ es junto con el $x\equiv x_1$ eje y tiene tensión $T_0$ . El desplazamiento general de la cuerda es $$\vec \xi(x_1,t)=\xi_1(x_1,t)\vec e_1+\xi_2(x_1,t)\vec e_2\equiv\xi_i(x_1,t)\vec e_i.$$ Una pequeña sección $ds$ de la cuerda es actuada por una fuerza $$d\vec T=\frac{\partial\vec T}{dx_1}dx_1=\mu dx_1\frac{\partial^2\vec\xi}{dt^2},$$ por la segunda ley de Newton. La magnitud de $\vec T$ es $T_0$ más un incremento proporcional a la cantidad estirada $$\frac{ds-dx_1}{dx_1}=\frac{ds}{dx_1}-1.$$ Si la cuerda tiene una sección transversal $A$ y Módulo de Young $Y$ el incremento de la tensión es $$AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right).$$ Por lo tanto, $$\vec T=\left[T_0+AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right)\right]\frac{d\vec s}{ds}$$ donde $d\vec s$ se dirige a lo largo de $ds$ . Tenemos $$d\vec s=(d\xi_1+dx_1)\vec e_1+d\xi_2\vec e_2,$$ $$ds=\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\right)^2}dx_1$$ Como se puede ver, cuando conectamos $\vec T$ en la ecuación de movimiento obtenemos tres ecuaciones diferenciales parciales no lineales y acopladas (aunque no es así). Para simplificar, supongamos pequeños desplazamientos, es decir $$\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\approx\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\ll 1.$$ El objetivo ahora es ampliar $\vec T$ hasta el primer orden en $\frac{d\xi_i}{dx_1}$ . Primero observe que $$\frac{ds}{dx_1}-1=\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}+O((\partial\xi_1/\partial x_1)^2).$$ Entonces \begin{align} \vec T&\approx\frac{\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right)}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_2}\right)^2}},\\ &\approx\left(1-\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right),\\ &\approx\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\vec e_1+T_0\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\vec e_2. \end{align} Introduciendo esto en la ecuación del movimiento obtenemos dos ecuaciones de onda, $$\frac{\partial^2\xi_i}{\partial t^2}=c_i^2\frac{\partial^2\xi_i}{\partial x_1^2},$$ cuyas velocidades son $$c_1=\sqrt{AY/\mu},\quad c_2=\sqrt{T_0/\mu}.$$ Obsérvese que si se desprecia el coeficiente de Young (elástico) de la cuerda, el modo longitudinal desaparece. Obsérvese también que la velocidad de la onda longitudinal es en general mayor que la velocidad de la onda transversal, ya que los valores típicos del módulo de Young son en general grandes, $Y\sim 10^{9}\, Pa$ . Para una cadena de área $A\sim 10^{-4}\, m^2$ obtenemos $$\frac{c_1}{c_2}\sim\sqrt{\frac{10^5}{T_0}}.$$

Momento longitudinal

En este puesto se calcula la energía potencial densidad de una cadena (recuerde $\xi_2$ es el desplazamiento transversal), $$U=\frac{T_0dx}{2}\left(\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\right)^2.$$ Entonces la "fuerza densidad "en la dirección longitudinal es $$f_1=-\frac{\partial U}{\partial x_1}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}.$$ Llamemos $p_1$ el "impulso densidad "en la dirección longitudinal. Entonces $$\frac{dp_1}{dt}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2\xi_2}{\partial t^2},$$ donde usamos la ecuación de onda. Integrando por partes (en el tiempo) obtenemos finalmente la densidad de momento $$p_1=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial\xi_2}{\partial t}.$$

Answer 3

I) Ya hay varias respuestas buenas. OP está preguntando acerca de la impulso de la cuerda no relativista con sólo desplazamientos transversales, cuya densidad lagrangiana suele estar dada como

$$ {\cal L}_T ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\eta}^2 - \frac{\tau}{2} \eta^{\prime 2} \tag{1}$$

en los libros de texto.

II) Fijemos la notación: $\rho$ es la densidad de masa 1D; $\tau$ es la tensión de la cuerda; $Y$ es el módulo de Young 1D; el punto denota una derivada wrt. $x^0\equiv t$ ; primo denota una derivada wrt. $x^1\equiv x$ ; $\xi$ es el desplazamiento longitudinal en el $x$ -dirección; y $\eta$ es el desplazamiento transversal en el $y$ -dirección.

III) En primer lugar, hay que tener en cuenta que el tensor canónico de tensión-energía-momento (SEM) $T^{\mu}{}_{\nu}$ (que contiene la densidad de momento $T^0{}_1$ ) es un retroceso a la hoja del mundo (WS), que identificamos con el $(x,t)$ -Avión. Por lo tanto, la dirección del momento se suele identificar con la longitudinal $x$ -dirección, incluso si las vibraciones del espacio objetivo físico (TS) están en la dirección transversal $y$ -dirección.

En segundo lugar, obsérvese que ya para el modelo de onda longitudinal (conceptualmente más simple)

$$ {\cal L}_L ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\xi}^2 - \frac{Y}{2} \xi^{\prime 2}, \tag{2}$$

(menos) la densidad de momento canónica

$$T^0{}_1~=~\rho\dot{\xi}\xi^{\prime} \tag{3}$$

es diferente de la densidad del momento cinético $\rho\dot{\xi}$ . Esto está relacionado con el hecho de que el modelo (2) está construido para describir excitaciones de onda de la cuerda, no traslaciones globales de la misma. El mensaje que se desprende es que no es necesariamente útil intentar que el momento canónico y el momento cinético sean iguales. (Y en particular, la Ref. 1 no lo consigue. Además, la Ref. 1 sólo discute las excitaciones quirales, es decir, un movimiento a la izquierda o a la derecha, pero no una superposición de los mismos, lo cual es incompleto para una teoría no lineal).

Basta con decir que los distintos momentos pueden tratarse y entenderse por separado, y que existen leyes de conservación asociadas a ambos tipos de momentos. La conservación del momento cinético se deriva de las leyes de Newton, mientras que la conservación del momento canónico es una consecuencia de la simetría de traslación, cf. Teorema de Noether . En esta respuesta, nos centraremos en obtener un modelo físico de la onda transversal más realista que la densidad lagrangiana (1).

IV) Nuestro punto de partida es la simple observación de que para una cuerda no extensible $Y \gg \tau $ , un pequeño desplazamiento transversal

$$\eta~=~{\cal O}(\varepsilon),\tag{4}$$

donde $\varepsilon \ll 1$ debe ir acompañada de un desplazamiento longitudinal

$$\xi~=~{\cal O}(\varepsilon^2),\tag{5}$$

Véase la Fig. 1 más abajo.

$\uparrow$ Fig. 1. Un desplazamiento transversal infinitesimal en diente de sierra $\varepsilon\ll 1$ de una cuerda no extensible debe ir acompañada de un desplazamiento longitudinal $\frac{\varepsilon^2}{2}$ .

V) Concluimos que un modelo realista para las excitaciones transversales $\eta$ debe incluir la posibilidad de desplazamientos longitudinales $\xi$ también. Consideremos, pues, la densidad lagrangiana

$$\begin{align} {\cal L}~:=~&{\cal T}-{\cal V}, \cr {\cal T}~:=~&\frac{\rho}{2}\left(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2\right),\end{align}\tag{6}$$

donde la densidad potencial ${\cal V}$ debe ser dada por Ley de Hooke . Sea

$$\begin{align} s^{\prime} ~=~& \sqrt{(1+\xi^{\prime})^2 +\eta^{\prime 2} }\cr ~=~&1+\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\xi^{\prime}\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\eta^{\prime 4}}{8} +{\cal O}(\varepsilon^5)\end{align} \tag{7}$$

sea la derivada de la longitud de arco $s$ wrt. el $x$ -coordinación. Modulando los posibles términos de la derivada total, la densidad de potencial ${\cal V}$ debe ser de la forma

$$\begin{align}{\cal V}~=~&\frac{k}{2} \left( s^{\prime}-a\right)^2 \cr ~=~& \frac{k}{2} (s^{\prime }-1)^2 + k(1-a) (s^{\prime}-1) \cr &+ \frac{k}{2} (1-a)^2 \end{align}\tag{8}$$

para unas constantes de material adecuadas $k$ y $a$ , cf. Ref. 1. Como se verá más adelante, debemos identificar las dos constantes $k$ y $a$ como

$$ k ~=~Y+\tau \quad\text{and}\quad \tau~=~ k(1-a). \tag{9}$$

Por lo tanto, la densidad potencial (8) se convierte en

$$\begin{align}{\cal V}~\stackrel{(8)+(9)}{=}&~ \frac{Y+\tau}{2} (s^{\prime }-1)^2 +\tau (s^{\prime}-1) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \tau\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} +\frac{\xi^{\prime 2}}{2} \right) \cr &+ \frac{Y}{2}\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} \right)^2 +{\cal O}(\varepsilon^5) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)}.\end{align}\tag{10}$$

Manteniendo sólo los términos de orden cuaternario, y descartando los términos de la derivada total y los términos constantes, la densidad de potencial es

$${\cal V}_4~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) +\frac{Y}{2}\chi^2 ,\tag{11}$$

donde hemos definido la notación abreviada

$$ \chi~:=~\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} .\tag{12}$$

El potencial cuaternario (11) es sorprendentemente sencillo. Para una cuerda no extensible $Y\gg\tau$ reconocemos en la ec. (11) la restricción

$$ \chi~\approx~0 ,\tag{13}$$

que está en el centro de la Fig. 1. La restricción (13) implica que una excitación transversal (4) de primer orden en $\varepsilon$ induce una excitación longitudinal (5) de segundo orden en $\varepsilon$ . Como veremos más adelante, incluso una cuerda extensible tiene afinidad con la restricción (13).

VI) Como nota, podemos reescribir el potencial cuártico (11) como un potencial cúbico

$$ {\cal V}_3~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) -\frac{B^2}{2Y} + B\chi, \tag{14}$$

donde $B$ es un campo auxiliar. El Ecuación de Euler-Lagrange (EL) para $B$ es

$$ B ~\approx~Y\chi.\tag{15} $$

Las ecuaciones EL para $\xi$ y $\eta$ leer

$$\begin{align} \rho \ddot{\xi}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\xi^{\prime\prime} + B^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ (\tau+Y)\xi^{\prime\prime} + Y \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{16}$$ $$\begin{align} \rho \ddot{\eta}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\eta^{\prime\prime} +\left(B\eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ \tau\eta^{\prime\prime}+\frac{3Y}{2}\eta^{\prime 2}\eta^{\prime\prime} + Y(\xi^{\prime}\eta^{\prime})^{\prime},\end{align}\tag{17} $$

respectivamente.

VII) Si integramos el $B$ -en el potencial cúbico (14),

$$ {\cal V}_3\quad\stackrel{B}{\longrightarrow}\quad{\cal V}_4,\tag{18}$$

obtenemos de nuevo el potencial cuaternario (11). Las ecuaciones EL (16) y (17) se convierten en

$$\begin{align}\Box_L\xi~:=~& \ddot{\xi}- c_L^2 \xi^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho} \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2) \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{19} $$ $$\begin{align}\Box_M\eta~:=~& \ddot{\eta}- c_M^2 \eta^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho}\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2)\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime},\end{align}\tag{20} $$

donde hemos definido dos velocidades

$$c_M^2~:=~\frac{\tau}{\rho}\quad\text{and}\quad c_L^2~:=~\frac{Y+\tau}{\rho}.\tag{21} $$

Consideremos sólo las ondas que se mueven a la izquierda. Un análisis sencillo muestra que las ecuaciones EL (19) y (20) tienen dos modos de desplazamiento:

1. Una velocidad puramente longitudinal $L$ -modo $\xi_L(x\!-\!c_Lt) $ con $\eta_L(x\!-\!c_Lt)\approx 0$ (lo que formalmente viola la restricción (13), pero recordemos la ec. (5)).

2. Una mezcla más lenta $M$ -modo $\xi_M(x\!-\!c_Mt) $ y $ \eta_M(x\!-\!c_Mt)$ que satisfaga la restricción $\chi_M(x\!-\!c_Mt) \approx 0$ en la ecuación (13).

VIII) Los dos modos de desplazamiento $L$ y $M$ son independientes en el sentido de que pueden atravesarse mutuamente. Sin embargo, la creación (y aniquilación) del $M$ -no son independientes del $L$ -modo. La restricción (13) tiene un efecto desigual: Un desplazamiento transversal está siempre asociado a una retracción longitudinal. Recordemos que si imponemos condiciones de contorno de Dirichlet en los extremos espaciales de la cuerda, entonces no es posible una retracción longitudinal global. La creación (y aniquilación) de un $M$ -por lo que debe excitar un modo compensatorio más rápido $L$ -que contrarresta la componente longitudinal del $M$ -modo. Véase la Ref. 1 para más detalles.

IX) Por último, es interesante intentar integrar el campo longitudinal $\xi$ en el modelo cuaternario (11). Podemos resolver la ec. (19) para el campo longitudinal

$$\begin{align}\xi~\approx~& \frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}~G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\frac{d}{dx^{\prime}}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2 \cr~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}\left\{-\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\right\}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{22} $$

introduciendo una función de Green $G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$ y coordenadas del cono de luz

$$\begin{align} x^{\pm} ~:=~& t \pm \frac{x}{c_L}, \cr \Delta x^{\pm} ~:=~& \Delta t \pm \frac{ \Delta x}{ c_L}, \cr \Delta t ~:=~& t - t^{\prime}, \cr \Delta x ~:=~& x - x^{\prime}.\end{align}\tag{23}$$

Entonces el D'Alembertian en 1+1D se convierte en

$$\Box_L ~=~ 4\partial_+\partial_-\tag{24}. $$

El Función de Green $G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$ satisface por definición

$$\begin{align}\Box_L G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~& \delta(\Delta t)\delta(\Delta x)\cr ~=~& \frac{2}{c_L} \delta(\Delta x^+)\delta(\Delta x^-).\end{align}\tag{25}$$

El función de Green retardada es

$$ G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~ \frac{1}{2c_L}\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-).\tag{26}$$

Sin embargo, para lograr una formulación lagrangiana (30) para el $\xi$ -(11), debemos utilizar la función de Green simetrizada

$$\begin{align} G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~=~&\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\cr &+\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x^{\prime},t^{\prime};x,t).\end{align}\tag{27}$$

Es conveniente introducir la notación

$$\begin{align} K&(x,t; x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~:=~& -\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~=~& -\frac{1}{4c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-) + \theta(-\Delta x^+)\theta(-\Delta x^-)\right]\cr ~=~& -\frac{1}{8c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[{\rm sgn}(\Delta x^+){\rm sgn}(\Delta x^-)\right].\end{align}\tag{28}$$

Entonces la derivada $\xi^{\prime}$ del campo longitudinal viene dada simplemente por

$$ \xi^{\prime} (x,t) ~\approx~ \frac{Y}{2\rho} \int \! dt^{\prime}~dx^{\prime}~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2.\tag{29}$$

Finalmente, podemos escribir una acción

$$\begin{align} S_4 ~\stackrel{\xi}{\longrightarrow}&~ \int \! dt~dx \left(\frac{\rho}{2}\dot{\eta}^2-\frac{\tau}{2}\eta^{\prime 2} -\frac{Y}{8} \eta^{\prime 4}\right) \cr -&\frac{Y^2}{8\rho} \int dt~dx~dt^{\prime}dx^{\prime}~\cr &\eta^{\prime}(x,t)^2 ~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~ \eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{30}$$

para el $\xi$ -Teoría Cuartica Reducida (11). Es fácil comprobar que la ecuación EL correspondiente para $\eta$ es la ec. (17), donde $\xi^{\prime}$ en el lado derecho de la ec. (17) viene dada por la ec. (29).

La acción (30) es bi-local, lo que es de esperar. (Por el lado bueno, ¡al menos la acción (30) no depende de las derivadas superiores del espaciotiempo!) Sin embargo, la naturaleza no local desafía el concepto de un tensor SEM (y por lo tanto la densidad de momento canónica, que era lo que el OP preguntó originalmente). Todavía es posible derivar las leyes de conservación de Noether asociadas a la simetría de traslación de WS, pero no lo haremos aquí.

Referencias:

1. D.R. Rowland y C. Pask, El misterio del momento de la onda perdida, Am. J. Phys. 67 (1999) 378 . (Sugerencia: ACuriousMind.)

Answer 4

Este eterno problema se debe a que no se distingue entre el momento newtoniano (la cantidad conservada que se obtiene mediante el teorema de Noethers a partir de la invariancia del sistema bajo una traslación simultánea de la cuerda y de cualquier onda sobre ella) y pseudomomentum (la cantidad conservada obtenida mediante el teorema de Noethers a partir de una invariancia del sistema bajo la traslación de las ondas, mientras que la propia cuerda no se traslada) El pseudomomentum viene dado por $-\rho \partial_x y \partial_t y$ . Se conserva sólo si la densidad de la cuerda es independiente de $x$ . La conservación del pseudomentum puede derivarse de la ecuación de onda, que no requiere el conocimiento de constantes elásticas como el módulo de Young.

Cualquier perturbación real de la cuerda excitará también ondas longitudinales que viajan a una velocidad que depende del módulo de Young. Esto se explica en el artículo de McIntyre mencionado anteriormente. También lo discute Peierls en su libro "surprises in theoretical physics" bajo el título "what is the momentum of a phonon". Resulta que el pseudomentum es más útil que el momento newtoniano real, ya que son los cambios en el pseudomentum los que corresponden a las fuerzas.

Véase mi artículo "Phonons and Forces: Momentum versus Pseudomentum in Moving Fluids," arXiv:cond-mat/0012316 .