¿Cuál es la estructura celular de K(Z/nZ, 1)? ¿Me permite sumar esta serie divergente? ¿Y qué pasa con otros grupos finitos?

Question

El espacio de Eilenberg-Maclane $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1)$ tiene una estructura de celdas particularmente simple: tiene exactamente una celda de cada dimensión. Esto significa que su "característica de Euler" debe ser igual a $$1 - 1 + 1 - 1 \pm ...,$$ o la serie de Grandi. Ahora bien, "sabemos" (por ejemplo por continuación analítica) que esta suma es moralmente igual a $\frac{1}{2}$ . Una forma de ver esto es pensar en $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1)$ como espacio proyectivo infinito, por ejemplo, el cociente de la esfera infinita $S^{\infty}$ por las antípodas. Desde $S^{\infty}$ es contractible, la "característica de Euler del orbifold" del cociente por la acción de un grupo de orden dos debe ser $\frac{1}{2}$ .

En general, siguiendo a John Baez $K(G, 1)$ para un grupo finito $G$ debería ser "el mismo" (realmente no tengo claro qué noción de igualdad se está utilizando aquí) como $G$ pensada como una categoría de un solo objeto, que tiene cardinalidad de grupo $\frac{1}{|G|}$ . En particular, $K(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, 1)$ debe tener una cardinalidad de grupo $\frac{1}{n}$ . Sospecho que $K(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, 1)$ tiene $1, n-1, (n-1)^2, ...$ celdas de cada dimensión, por lo que la característica de Euler del orbifold

$$\frac{1}{n} = 1 - (n-1) + (n-1)^2 \mp ....$$ Lamentablemente, no sé cómo construir espacios Eilenberg-Maclane...

Pregunta 1a: ¿Cómo se construye $K(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, 1)$ ¿Y tiene la estructura celular que creo que tiene? (Me han dicho que se puede escribir la estructura celular de $K(G, 1)$ para un grupo finitamente presentado $G$ explícitamente, pero agradecería una referencia para esta construcción).

Pregunta 2: $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1)$ resulta ser "lo mismo" que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $(0, 1)$ , convenientemente interpretado; los subconjuntos finitos de tamaño $n$ forman la celda de dimensión $n$ . Jim Propp y otras personas que piensan en la característica combinatoria de Euler escribirían esto como $\chi(2^{(0, 1)}) = 2^{\chi(0, 1)}$ . ¿Es cierto, en general, que $K(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, 1)$ es "lo mismo" que el conjunto de todas las funciones $(0, 1) \to [n]$ ¿Interpretado adecuadamente?

Pregunta 3: ¿Qué noción de "igualdad" hace que lo que he dicho arriba sea realmente cierto?

Pregunta 4: Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $K(G, 1)$ se construya utilizando la construcción estándar que pregunté en la pregunta 1. Si $c_n$ denota el número de celdas de dimensión $n$ , dejemos que $f_G(z) = \sum_{n \ge 0} c_n z^n$ . Puede $f_G$ siempre se continúa analíticamente hasta $z = -1$ para que $f_G(-1) = \frac{1}{|G|}$ ?

Answer 1

Hay múltiples estructuras celulares posibles en K(Z/n,1).

Uno es genérico. Para cualquier grupo finito G existe un modelo para BG que tiene (|G|-1) k nuevos símiles en cada grado k no nulo. Esta es la construcción estándar de barras simpliciales de K(G,1). Esto hace que BG tenga la característica de Euler 1/|G|, si se quiere.

Uno es más específico. Hay otra estructura de celdas en K(Z/n,1), viéndola como una unión de espacios de lentes generalizados, que tiene exactamente una celda en cada grado. Se trata de un avatar topológico de la resolución "simple" de Z por módulos libres de Z[Z/n]. Obviamente esto no te da el argumento de la característica de Euler que estás buscando - uno necesita seguir una información más intrincada sobre las uniones de celdas para poder extraer algo.

Answer 2

La respuesta a algo como la pregunta 4 es "sí". No sólo tiene una continuación analítica a $-1$ tiene un único tal. De hecho, es una función racional. Algo parecido ocurre no sólo con los grupos finitos sino con la "mayoría" de las categorías finitas. Véase este documento especialmente el ejemplo 2.4.

(Yo digo " algo así como pregunta 4" porque estoy tomando $c_n$ para ser el número de no degenerados $n$ -simples en el nervio de $G$ que creo que no es exactamente lo que tienes en mente).