¿Qué tamaño tienen los factores primos de $2^kp - 1$ ?

Question

Ya he hecho esta pregunta aquí . No hay respuestas a pesar de la recompensa (que ya ha terminado)

Dejemos que $p$ sea un número primo, $p > 3$ .

¿Existe siempre $k \in \mathbb N_{\ge 1}$ tal que los factores primos de $2^kp - 1$ son todos menores que $p$ ?

Pensamientos

Bien, podemos ver fácilmente que si $2p - 1$ est no primo, entonces no hay primos mayores que $p$ que lo dividen (por lo tanto $k=1$ funcionaría). Pero $2p-1$ ser primo es bastante común cuando $p$ es primo; ocurre con $p= 7,19, 37$ etc.

Para estos últimos valores he mirado $k=2$ y todos funcionan, pero hay un primo menos que $100$ (no recuerdo cuál) para lo cual hay que utilizar $k=3$ .

En cualquier caso, parece una buena apuesta, pero ¿es realmente cierto?

Nota : Parece una pregunta interesante, pero si no está a la altura de mathoverflow dímelo y lo quito :-)

Answer 1

Supongamos que consideramos un problema más general: dado un número entero $n \gt 1$ ¿hay un número entero $k \gt 0$ para que $2^kn - 1$ est $n$ -fiable (tiene todos sus factores primos de tamaño máximo $n$ )? Al principio sospechaba que la respuesta era no para los enteros pequeños y sí para los enteros grandes. Resulta (que me he convencido) que la respuesta es sí para $5,7,8,9,11,13$ y no para $2,3,4,6,10,12$ . Estoy mirando $14$ y sugieren que esta generalización es de interés. (Dejaré que alguien más sugiera sustituir 2 o 1 o ambos por parámetros enteros).

Gerhard "se asombra del crecimiento de las preguntas" Paseman, 2016.02.07.