Explícito Hamel base de los números reales

Question

Hay una construcción explícita de un Hamel base del espacio vectorial de los números reales $\mathbb R $ sobre el campo de los números racionales $\mathbb Q $?

Answer 1

Esto es consistente con los axiomas de ZFC que hay un Hamel base de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ con la complejidad de la $\Delta^1_2$ en el descriptivo conjunto teórico jerarquía. Este es el caso, por ejemplo, en el edificable universo $L$, donde hay un $\Delta^1_2$ bien el pedido de los reales, tal y como explico en este MO respuesta, que está estrechamente relacionado con esta cuestión. La complejidad de la $\Delta^1_2$ es un número sorprendentemente bajo de complejidad, puesto que dicho conjunto (y su complemento) pueden ser obtenidos por empezar con un cierto conjunto cerrado en $\mathbb{R}^3$, la proyección de a $\mathbb{R}^2$, tomando el complemento, y la proyección de abajo a $\mathbb{R}$, y así parecería contar de manera bastante explícita.

Mientras tanto, nunca puede ser una base de Hamel $\mathbb{R}$ más de $\mathbb{Q}$ que es Borel, es decir, con la complejidad $\Delta^1_1$, ya que desde cualquier Borel Hamel base se puede producir un no Lebesgue medibles conjunto de la misma complejidad de la Vitali argumento (remover un elemento, tomar el lapso de los otros elementos, y considere la posibilidad de su cosets). Pero, por supuesto, cada conjunto de Borel es Lebesgue medibles.

Al mismo tiempo, es una consecuencia de la existencia de grandes los cardenales que cada proyectiva conjunto de los reales es Lebesgue medibles, y en este caso, no puede haber proyectiva Hamel base para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$, de nuevo por la Vitali argumento. El proyectiva jerarquía de conjuntos surge por el cierre de la Borel conjuntos de bajo continuo de imágenes, así como complementos, contables de uniones e intersecciones. Por lo tanto, en tal situación, no puede ser fácilmente descrito Hamel base para $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Si usted tiene una base, también tiene un subespacio de co-dimensión 1, y este resulta ser un conjunto de Vitali, que es bastante no edificable objeto. Para más detalles, por ejemplo, comprobar esta respuesta y este.

Answer 3

Arnie Miller ha demostrado que si V=L, entonces uno puede hacer un poco mejor que lo que Joel dijo; habrá un $\Pi^1_1$ Hamel base de los reales sobre los racionales. La referencia es "Infinita combinatoria y definability," Anales de la Pura y Aplicada de la Lógica 41 (1989) 179-203. Este papel también mejora la complejidad obligado de $\Delta^1_2$ a $\Pi^1_1$ para varias otras construcciones bajo la hipótesis de V=L.

Answer 4

Re Andreas' comentario, tengo una valoración crítica de una generalización de Miller resultado: https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/rds/talks_kiel.pdf