Límites inferiores en el problema de Waring más fácil

Question

El problema de Waring más fácil pregunta por el menor número $v=v(k)$ tal que todo entero es una suma de $v$ potencias $k$-ésimas con signos, es decir, todo $n\in \mathbb{N}$ tiene la forma $$n=x_1^k\pm x_2^k\pm\dotsb\pm x_v^k.$$

El problema es "más fácil" porque a diferencia del problema de Waring usual (sin los signos) la existencia de $v(k)$ es fácil --- la cota $v(k)\leq 2^{k-1}+\tfrac{1}{2}k!$ sigue del diferenciamiento repetido. Por supuesto, las cotas superiores en el problema de Waring usual también aplican, por lo que de hecho $v(k)=O(k\log k)$.

Todas las cotas inferiores en $v(k)$ que he visto vienen de consideraciones congruenciales. Por ejemplo, $v(3)\geq 4$ porque necesitamos al menos cuatro términos módulo $9$. Sin embargo, si descartamos los obstáculos congruenciales, ¿existe una cota inferior no trivial? Para ser franco, mi pregunta es

¿Existe algún $k$ lo suficientemente grande para que el conjunto $\{x_1^k\pm x_2^k\pm x_3^k\pm x_4^k\pm x_5^k\}$ tenga densidad cero?

Answer 1

Se obtiene una densidad cero para $x^k - y^k$, con, digamos, $x,y > 0$, ya que $ x^k - y^k = (x-y) (x^{k-1} + \cdots + y^{k-1} ) $ y o bien $x=y$ o $| x - y| \geq 1$, por lo que el número de pares $(x,y)$ con $0 < x^k - y^k \leq n$ no es mayor que $n^{2/(k-1)}$. Tan pronto como $k \geq 4$ obtenemos densidad cero. Mientras tanto, $x^3 - y^3$ también da cero densidad, pero esto se relaciona con el conjunto de números hasta $n$ que son representados por la forma cuadrática positiva $x^2 + x y + y^2$ y el conteo es constante veces $\frac{n}{\sqrt {\log n}}.$

Sin embargo, ahora se sospecha que $\pm x^3 \pm y^3 \pm z^3$ da densidad completa, es decir, $7/9$. Además, mediante identidades sencillas, todos los números son la suma mixta de cinco cubos, por lo que $v(3) \leq 5$

Cambiaría a hacer tu pregunta con tres variables en lugar de cinco, simplemente ignoraría completamente las congruencias y me enfocaría en tu densidad cero, lo cual me parece una idea ingeniosa...

Answer 2

Hasta donde yo sé, no se conoce nada sin condiciones. La dificultad es que no hay una restricción obvia sobre el tamaño de las variables, por lo que los $x_i$ podrían ser arbitrariamente grandes en términos de $n$ en una solución. La dificultad de descartar soluciones (cuando las condiciones de congruencia no descartan la solubilidad) está relacionada con probar la insolubilidad de las ecuaciones de Fermat generalizadas.

Sin embargo, hay un enfoque condicional asumiendo la verdad de la Conjetura ABC generalizada (o, como lo describe Pomerance, la Conjetura del Alfabeto). Nos quedaremos con la situación general con $v$ sumandos. ABC generalizada afirma que en cualquier solución de $a_1+\ldots +a_s=0$ en la que no haya subsumas que se anulen, se tiene $\underset{1\le i\le s}{\max}|a_i|\ll_{s,\epsilon} \left( \prod_{p|a_1\ldots a_s}p\right)^{(s-1)(s-2)/2+\epsilon}.$ Existe desacuerdo sobre el exponente específico, pero esto no importa tanto en la conclusión (ver un documento de 1986 de Brownawell y Masser para una versión de campo de funciones, y discuto esto en un documento de 1994 sobre Comportamiento cuasi-diagonal). Las subsumas que se anulan en tu ecuación $\pm x_1^k+\ldots +\pm x_v^k=n$ facilitan las cosas (trátalas por separado y son posibles estimaciones más poderosas), así que por simplicidad supongamos que las representaciones no tienen subsumas que se anulen. Entonces se obtiene $|x_i|^k\ll |nx_1\ldots x_v|^{v(v-1)/2+\epsilon}$. Si $k>v^2(v-1)/2$, se sigue que $\max |x_i|\ll |n|^{\alpha+\epsilon}$, donde $\alpha=v(v-1)/(2k-v^2(v-1)). OK ... hasta aquí todo bien. Lo que hemos demostrado hasta ahora es que las variables en una representación están acotadas por $|n|^{\alpha +\epsilon}$. El número total de variables disponibles para representar los enteros $n$ entre $N/2$ y $N$ es en consecuencia no mayor que una cantidad que es $\ll (N^{\alpha+\epsilon})^v$ (había $v$ variables). Siempre que $v(\alpha+\epsilon)<1$, por lo tanto, el conjunto de enteros representados debe tener densidad cero. Si no he cometido ningún error computacional en el camino, esto nos lleva a la conclusión de que siempre que $k>v^2(v-1)$, entonces la densidad de enteros representados en el problema más sencillo de Waring será cero. (Pero recuerda que todo esto es condicional a la Conjetura ABC generalizada). Para el problema específico con $v=5$, parece que $k>100$ hace el truco (aunque un $k$ más pequeño seguramente también funcionará).