¿Cómo podemos concluir de la ecuación de onda de Maxwell que la velocidad de la luz es la misma independientemente del estado de movimiento de los observadores?

Question

Estoy leyendo un libro titulado "Relativity Demystified --- A self-teaching guide by David McMahon".

Explica la derivación de la ecuación de la onda electromagnética. $$ \nabla ^2 \, \begin {cases} \vec {E} \\\vec {B} \end {cases} = \mu_0\epsilon_0\ , \frac { \partial ^2}{ \partial t^2}\, \begin {cases} \vec {E} \\\vec {B} \end {cases} $$

Luego lo compara con

$$ \nabla ^2 \, f = \frac {1}{v^2}\, \frac { \partial ^2 f}{ \partial t^2} $$

y finalmente encontrar

$$ v= \frac {1}{ \sqrt { \mu_0\epsilon_0 }}=c $$

donde $c$ no es nada más que la velocidad de la luz.

La clave de esta derivación es que las ondas electromagnéticas (luz) siempre viajan a la misma velocidad en el vacío. No importa quién seas o cuál sea tu estado de movimiento, esta es la velocidad que vas a encontrar.

Ahora es mi confusión. El operador de nabla $ \nabla $ se define con respecto a un determinado sistema de coordenadas, por ejemplo, $(x,y,z)$ . Así que el resultado $v=c$ debe ser la velocidad con respecto a $(x,y,z)$ sistema de coordenadas. Si otro observador adscrito a $(x',y',z')$ moviéndose uniformemente con respecto a $(x,y,z)$ entonces debe haber una transformación que relacione ambos sistemas de coordenadas. Como resultado, deben observar diferentes velocidades de la luz.

Preguntas

Dejemos de lado el resultado nulo de los experimentos de Michelson y Morley porque llegaron varias décadas después de que Maxwell descubriera su derivación de ondas electromagnéticas.

No conozco la historia de si Maxwell también concluyó que la velocidad de la luz es invariable bajo un marco de referencia inercial. Si es así, entonces ¿qué parte de su derivación se utilizó para basar esta conclusión?

Answer 1

Su pregunta es excelente y tiene razón en cuanto a la $ \nabla $ operador. Y también tiene razón en cuanto a la insuficiencia del argumento que informa en el libro que está leyendo.

Para hacer el argumento con más cuidado, hay dos opciones. La primera sería averiguar cómo cambian las propias ecuaciones de Maxwell al pasar a otro marco inercial. Eso requeriría mucho cálculo si se empieza desde los primeros principios. (Y por cierto, no cambian se obtienen las mismas ecuaciones pero ahora en términos de ${ \bf E}', { \bf B}', \rho ', { \bf j}', { \bf \nabla }', \partial / \partial t'$ ).

Una segunda opción, matemáticamente más fácil pero que aún requiere algo de trabajo si no estás familiarizado con ella, es mostrar que el $ \nabla $ operador y el $ \partial / \partial t$ El operador tiene una propiedad especial: cuando los combina en la combinación $$ \nabla ^2 - \frac {1}{c^2} \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} $$ entonces su efecto es el mismo que $$ \nabla '^2 - \frac {1}{c^2} \frac { \partial ^2}{ \partial t'^2} $$ Todos los cambios al pasar de coordenadas no primadas a primadas se cancelan. Si está familiarizado con la diferenciación parcial, entonces podría intentar comprobar esto. Cuando se aprende el tema más a fondo, se convierte en un ejemplo que puede ser manejado más fácilmente usando el lenguaje de los 4 vectores.

Creo que McMahon posiblemente no pensó con suficiente cuidado lo que estaba derivando y lo que estaba asumiendo en su argumento. Por ejemplo, podría haber dado por sentado que las ecuaciones de Maxwell toman la misma forma en todos los marcos inerciales. Pero si no lo demostró primero en su libro, entonces no debería reclamar que la derivación de las ondas de una velocidad dada a partir de ellas prueba que la velocidad de la onda será independiente del movimiento de la fuente.

Answer 2

Si las ecuaciones de Maxwell tienen la misma forma en todos los marcos de referencia, entonces la velocidad de onda se define por el producto de dos constantes físicas, independientemente del sistema de coordenadas. Es decir, tu libro sólo asume eso implícitamente, pero por supuesto requiere pruebas experimentales - es decir, Michelson-Morley etc.

Answer 3

Su observación es correcta, las ecuaciones de Maxwell por sí solas no implican una velocidad invariable de la luz. Uno puede hacer una transformación galilea y obtener una velocidad de la luz dependiente del observador como se muestra en la respuesta a esta pregunta . Sin embargo, la derivación de las ecuaciones de Maxwell no supone un marco de referencia privilegiado: $ \varepsilon_0 $ y $ \mu_0 $ se asumen como propiedades del vacío. Sí, se debe elegir un sistema de coordenadas, pero desde el punto de vista de la derivación de las ecuaciones esto es totalmente arbitrario. Para mantener una velocidad de la luz no constante habría que hacer la suposición retroactiva después de que las coordenadas elegidas resultaran ser coordenadas estacionarias con respecto al éter.

Answer 4

Sin pruebas experimentales no se puede concluir la constancia de la velocidad de la luz. Si el espacio contuviera un medio, el éter, para las ondas electromagnéticas se esperaría que la velocidad de la luz en el wrt al éter fuera constante. La teoría del éter fue desmentida por el experimento de Michelson y Morley. Eso dejó a la relatividad especial como una alternativa.

Answer 5

Maxwell originalmente asumió que la velocidad de la luz variaría dependiendo del marco de referencia. Esto implicaría que las ecuaciones de Maxwell sólo se sostienen con respecto a algún tipo de sistema de coordenadas universal. Cuando los experimentos (como Michelson-Morley) indicaron que la velocidad de la luz no variaba entre los marcos de referencia inerciales, físicos como Hendrik Lorentz descubrieron cómo transformar las ecuaciones de Maxwell de manera que se mantuviera la velocidad de la luz constante al pasar de un marco de referencia a otro. Esto requirió todo tipo de conceptos extraños como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. En 1905, Einstein demostró que estas ideas extrañas podían deducirse de manera muy natural desechando las viejas ideas de que el espacio y el tiempo son absolutos, y comenzando con el supuesto de que las leyes de la física (incluidas las ecuaciones de Maxwell) son igualmente válidas en todos los marcos de referencia inerciales. Su libro aparentemente sólo adopta este punto de vista desde el principio. Ciertamente hay un argumento estético para adoptar este punto de vista, pero obviamente, cualquier idea científica necesita ser respaldada por pruebas experimentales. Por lo tanto, cualquier libro que trate de "derivar" leyes científicas sin referencia a la experimentación, en realidad sólo te está alimentando con argumentos engañosos como éste.