Local de homología de un espacio de matrices unitarias

Question

Deje $U(n)$ denotar el grupo unitario (esta es una variedad de dimensión $n^2$). Vamos $${\cal D} \subconjunto de U(n)$$ denota el subespacio de aquellas matrices que tengan no trivial de la $(+1)$-espacio propio.

Antecedentes: se sabe que $\cal D$ tiene fuga de homología en la dimensión $n^2$. No es difícil mostrar que $H_{n^2-1}({\cal D}) \cong \Bbb Z$. Además, se sabe que ${\cal D}$ tiene la estructura de un número finito de CW complejo de dimensión $n^2-1$.

Para $g\in {\cal D}$, definir el local de homologíapor $$H_{n^2-1}({\cal D}\, |\, g;\Bbb Q) := H_{n^2-1}({\cal D},{\cal D} \setminus g;\Bbb Q)\, .$$

Pregunta: Para arbitrario $g\in {\cal D}$ es el rango de este grupo conocido?

Si sí, ¿alguien puede dar referencias?

Comentario: Basado en un cálculo directo al $n=2$, parece razonable suponer que el rango de $H_{n^2-1}({\cal D}\, |\, g;\Bbb Q)$ es igual a la dimensión de la $(+1)$-subespacio propio de $g$ (es decir, la multiplicidad del autovalor +1).

Answer 1

Consideremos primero el caso al $g=e$ es la matriz identidad. Deje $U$ ser un barrio de la identidad en $\mathcal D$. Queremos calcular la homología local de $U$ a $e$.

Podemos suponer que la $U$ se asigna homeomorphically por el (inversa) de la exponencial mapa en su imagen en el espacio de la tangente de $U(n)$. El espacio de la tangente puede ser identificado con el espacio de sesgar-Hermitian $n\times n$ matrices.

Elementos de $\mathcal D$ que están cerca de la identidad corresponden en virtud de la exponencial mapa a no es invertible skew-Hermitian matrices. Así que usted está preguntando acerca de los locales de homología en el grado ${n^2-1}$ del espacio de la no-invertible skew-Hermitian matrices. Por Alexander dualidad, esto es isomorfo a la reducción de la homología en el grado $0$ del espacio de la invertible skew-Hermitian matrices. Así que tenemos que contar los componentes de la ruta de este espacio.

Dicha matriz no-cero puramente imaginario autovalores, de la forma $ir$. El componente de la ruta de una matriz se determina por el número de autovalores para que $r>0$. De ello se desprende que hay $n+1$ componentes, de manera que la reducción de la homología tiene rango $n$, que confirma la conjetura.

Añadido posterior: Para el caso general, supongamos $g$ es una matriz unitaria que corrige un subespacio ${\mathbb C}^k\subset {\mathbb C}^n$. Deje ${\mathcal D}_k\subset U(k)$ ser el subespacio de las matrices que fijar un valor distinto de cero subespacio de ${\mathbb C}^k$. Yo reclamo que $g$ tiene un vecindario $U\subset\mathcal D$ que es homeomórficos a $U_k\times {\mathbb R}^{n^2-k^2}$ donde $U_k$ es un abierto barrio de la identidad en ${\mathcal D}_k$, por un homeomorphism que tarda $g$ a $e\times 0$. De ello se deduce fácilmente que el $H_*(U, U\setminus\{g\})\cong H_{*-(n^2-k^2)}(U_k,U_k\setminus\{e\})$, por lo que el caso general sigue por el caso especial $g=e$.

Queda por demostrar que el reclamo. Deje $l=n-k$ y deje ${\mathbb C}^l$ ser el complemento ortogonal de ${\mathbb C}^k$ en $\mathbb C^n$. Consideremos el subespacio propio de la descomposición de $g$. Autoespacio es ${\mathbb C}^k$, asociada con el autovalor $1$. El resto de los subespacios propios de forma ortogonal descomposicion de la ${\mathbb C}^l$, y sus autovalores son la unidad de los números complejos diferentes de $1$.

Podemos identificar a $g$ con el elemento $(e_k,g_l)\in U(k)\times \{g_l\}$ donde $e_k$ es la identidad de $U(k)$ e $g_l$ es la restricción de $g$ a ${\mathbb C}^l$. Ya que es un submanifold, $g$ tiene un producto barrio de la forma $V_1\times V_2$ donde $V_1$ es suficientemente pequeño barrio de la identidad en $U(k)$ e $V_2\cong{\mathbb R}^{n^2-k^2}$ es un pequeño tubular barrio de $V_1$ en $U(n)$. Queremos entender la intersección de $V_1\times V_2$ con $\mathcal D$. Consideremos el subespacio propio de la descomposición de un elemento de $V_1\times V_2$. Tendrá subespacios propios de dos tipos: algunos están muy cerca de ${\mathbb C}^k$ y algunos están muy cerca de $\mathbb C^l$. El eigevalues de primer tipo son la unidad de los números complejos cerca de $1$, y los valores propios de segundo tipo son los de la unidad de los números complejos distintos de $1$. El elemento pertenece a $\mathcal D$ si sólo si al menos uno de los valores propios de primer tipo es igual a $1$. Creo que es fácil de ver desde aquí que un elemento de $V_1\times V_2$ pertenece a $\mathcal D$ si sólo si su $V_1$ complonent pertenece a $\mathcal D_k$. De ello se desprende que $(V_1\times V_2)\cap {\mathcal D}= (V_1\cap {\mathcal D}_k)\times V_2\cong U_k\times {\mathbb R}^{n^2-k^2}$, que es lo que quería saber.