Variedades donde cada álgebra es gratis

Question

Me gustaría saber más acerca de las variedades (en el sentido de álgebra universal) donde cada álgebra es libre. Otra manera de expresar la condición es que la comparación functor de la Kleisli categoría a la Elienberg-Moore categoría es una equivalencia. Por ejemplo, cada objeto es gratis en

• La categoría de conjuntos

• La categoría de conjuntos de punta

• La categoría de espacios vectoriales (a través de un campo especificado), o, más en general, la categoría de módulos sobre un anillo de división

• (Añadido 3/14/14) La categoría de los afín espacios (espacios vectoriales sin un cero) y afín a los mapas (lineal mapas + traducciones) a través de un anillo de división $R$. La estructura algebraica está dada por, para cada una de las $r \in R$, un ternario operación $f_r(x,y,z)$ significado esencialmente $r(x-y)+z$, con el establecimiento de relaciones adecuadas para especificar esto. En el espacio vectorial caso de este ejemplo se menciona en el papel de John Baldwin enlaces a continuación.

Hay un nombre para esta propiedad? Más al n de la Categoría de Café, Zhen Lin sugirió el término "absolutamente libre", pero deduzco que esto tiene un significado diferente en álgebra universal.

Tiene esta propiedad ha sido estudiado en la literatura? Hay otros buenos ejemplos? Parece una condición restrictiva: es restrictivo suficiente para obtener algún tipo de teoría de la estructura de las variedades con esta propiedad?

En el álgebra conmutativa caso: Si todos los módulos sobre un anillo de $k$ son gratis, entonces es $k$ necesariamente una división anillo?

EDITAR(2/19/14) El Vengador Enmascarado menciona a continuación que esta propiedad puede ser analizada en términos de categoricity en el sentido de modelo, teoría. Esto me recuerda que en la n-Categoría de Café, Zhen Lin mencionado debe haber un enfoque en términos de la eliminación de los imaginarios. Si alguien pudiera precisar el modelo teórico de los aspectos realmente lo apreciaría. Tal vez el tema ha sido bien cubierto de modelo-teórica?

Creo que el caso lineal ha sido aclarada por varias personas. Benjamin Steinberg tiene algunos resultados interesantes relacionadas con la clasificación de aspecto; cualquier observación adicional sería genial. Todavía estoy buscando un nombre para esta propiedad[3/14/14: "pantofree" sonidos de broma-y a mi oído, pero tal vez es apt, después de todo...], y sigue buscando más ejemplos interesantes. Tal vez yo también voy a mencionar: una variación que podría ser interesante es que sólo requiere que finitely generan álgebras de ser libre.

Answer 1

Si no hay ninguna constante de símbolos en el lenguaje, $\mathcal L$, entonces el no trivial de variedades donde cada álgebra es gratis son exactamente las variedades término equivalente a conjuntos o afín espacios a través de una división de anillo. Aquí es por qué.

1. Si no hay constantes en el lenguaje, $F_{\mathcal V}(\emptyset)$ está vacía, por lo $F_{\mathcal V}(1)$ debe ser el 1-elemento de álgebra. Esto obliga a la variedad a ser idempotente.

2. $\mathcal V$ es $\kappa$categoría para $\kappa\geq |\mathcal L|$. Esto obliga a que el primer orden de la teoría de los infinitos miembros de $\mathcal V$ a ser completa, por lo $\mathcal V$ es un mínimo de variedad.

3. El mínimo idempotente variedades fueron parcialmente clasificado en mi papel

Casi todos los mínimos idempotente variedades son la congruencia modular, Álgebra Universalis 44 (2000), 39-45.

Cada uno debe ser equivalente a la variedad de conjuntos, la variedad de semilattices, una variedad afín de los módulos a través de un simple anillo, o debe ser la congruencia de distribución.

4. Así que lo que queda es para descartar la nonabelian queridos y para mostrar que una variedad afín de los módulos a través de un simple anillo donde cada miembro es libre es en realidad afín a lo largo de un anillo de división. La división de anillo de conclusión se puede llegar de varias maneras, por ejemplo, haciendo referencia a la respuesta de Mariano Suárez-Alvarez. (Se puede acortar ese argumento un poco al notar que a $\mathcal V$ tiene una simple miembro, y por un simple módulo de ser libre el anillo debe ser un anillo de división.)

Lo que todavía está a la izquierda es para descartar las variedades equivalente a semilattices y la congruencia de distribución de variedades. Esto se puede hacer directamente o se pueden citar los trabajos de Baldwin + coautores.

Una variedad equivalente a semilattices es localmente finita, entonces, por su papel con Lachlan (citado en Baldwin respuesta), que se aplica localmente finito variedades cuya infinita de los miembros son libres, $\mathcal V$ es totalmente categórico. Estas variedades son conocidas. Congruencia distributiva en la variedad está la congruencia modular, así que por su papel con McKenzie llamado "el Recuento de los modelos en universal Cuerno de clases", Álgebra Universalis 15 (1982), 359-384, el $\kappa$-categoricity y la congruencia de la modularidad de $\mathcal V$ conjunto implica que $\mathcal V$ es abelian. (Su papel supone una contables idioma, pero esta parte de su argumentación no lo requiere.)

No sé cómo hacer el caso donde hay constantes en el lenguaje. Lo que puede ser demostrado es que hay un constante hasta equivalencia, que $F_{\mathcal V}(1)$ es abelian y simple, y que $\mathcal V = SPP_U(F_{\mathcal V}(1))$ es un mínimo de variedad que es mínimo, ya que un quasivariety. Las únicas que conozco son las variedades de punta y los conjuntos de las variedades de espacios vectoriales sobre un anillo de división.

EDITAR (8/16/15) ahora sé más. Steve Givant resuelto la cuestión principal que plantea aquí (variedades Que tienen la propiedad de que todos los miembros son libres?) en 1975 su tesis de Doctorado. La respuesta es: sólo las variedades término equivalente a conjuntos, señaló conjuntos, espacios vectoriales sobre un anillo de división o afín espacios a través de una división de anillo. Sus métodos no parecen aplicarse a la variación sugerido por Tim: ¿Para qué variedades son las finitely generado miembros de forma gratuita? Sin embargo Emil Beso, Agnes Szendrei y yo sólo funcionó la respuesta a esa pregunta (que es la misma respuesta): establece, señaló conjuntos de vectores espacios afines y de los espacios. Me acaba de enviar una breve nota sobre este para el arxiv.

Answer 2

La sugerencia de que esto fue estudiado por el modelo teórico está bien fundada. Ver MR0351785 (50 #4273) 02G20 08A15 02H05 Baldwin, J. T.; Lachlan, A. H. En universal Cuerno clases categóricas en algunos nte en el poder. Álgebra Universalis 3 (1973), 98{111.

El principal resultado es que si la variedad es localmente finito, incluso bajo la débil supuesto de que la teoría de los modelos infinitos es completa, la variedad es categórico en todos infinito cardinalidades. El artículo de arriba tiene antecedentes históricos. Hasta donde yo sé, el problema sigue abierto si `localmente finito' se omite.

Answer 3

Si $R$ es un anillo de cuya izquierda módulos son gratis, todos los cortos de la secuencia exacta de los módulos se divide y se $R$ es de izquierda semisimple. De ello se desprende que $R$ es finito, producto directo de un mínimo de ideales.

Si en esta factorización hay más de un factor, entonces es evidente que ningún módulo puede ser simple. Pero los mínimos ideales son libres de módulos sencillos por nuestra hipótesis, y esto es absurdo. De ello se desprende que $R$ ha ha no no-cero a la izquierda ideales, de modo que cada elemento tiene una a la izquierda y al revés, como de costumbre, esto implica que cada elemento tiene una inversa.

$R$ por lo tanto es un anillo de división.

Answer 4

Edit.
Mi respuesta original estaba mal. Las variedades de la izquierda de cero semigroups y a la derecha de cero semigroups tienen la propiedad y son los más grandes semigroup queridos. Ellos tienen una identidad de base $xy=x$ e $yx=x$ resp. El trivial de la variedad es el único otro.

Si V es una variedad de semigroups en la que todos los semigroups son gratis, a continuación, la relativamente libre monogénicas semigroup en 1 generador debe ser una sola idempotente porque el trivial semigroup no es 0-generada. De ello se sigue que V satisface $x^2=x$. Todas las variedades para satisfacer esta identidad se clasifican y cero a la izquierda y a la derecha del cero son los únicos que no son triviales con todos los semigroups relativamente libre.

Más generalmente, si no hay constantes en la firma de la libre álgebra en un generador debe ser trivial. Esto implica entonces que cada álgebra en la variedad es idempotente, lo cual significa satisface $f(x,\ldots,x)=x$ por cada operación.