Tame morfismos de una curva de a $\mathbb{P}^1$

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $p\ge 0$. Deje $C$ ser una suave curva proyectiva sobre $k$. Es posible encontrar un mapa $C \to \mathbb{P}^1$ que es confiando inocentemente se ramifica en cada punto de $C$, es decir, tal que el índice de ramificación en cada punto de $C$ es el primer a $p$?

Un resultado de Fulton dice que, si $k$ es (algebraicamente cerrado) de la característica $p\ne 2$, entonces es posible encontrar un morfismos $C \to \mathbb{P}^1$ que es una cubierta sencilla: sólo el doble de puntos pueden aparecer y a más de uno en cada fibra. (Este es el teorema 8.1 en "Hurwitz esquemas y la irreductibilidad de los módulos de las curvas algebraicas", Ann. de Matemáticas. 90, 1969. Él dice que es clásica y se remonta a la Severi.)

Fulton resultado da una respuesta positiva para los campos de la característica $p\ne 2$. Pero, ¿qué acerca de la característica 2? ¿El resultado todavía se mantienen? Yo ya estaría interesado en las respuestas en casos particulares (curvas elípticas, por ejemplo).

EDIT: he añadido la hipótesis de que el campo es algebraicamente cerrado con el fin de centrarse en lo que realmente estoy interesado en. Aún así, yo también agradecería comentarios sobre la relevancia de esta hipótesis.

Answer 1

esto es una tontería, pero si no asumimos el campo de tierra es algebraicamente cerrado, entonces la respuesta es no. Es decir, supongamos que C es el genérico de la curva de género g en char 2 donde g es grande. A continuación, cada divisor de clase en C es un múltiplo de K_C. (Este es un sistema altamente no trivial teorema.) Ahora bien, si hemos tenido un manso de morfismos C ---> P^1, a continuación, la ramificación de los índices serían aún, por lo tanto, la ramificación divisor sería 2E para algunos eficaz divisor. Luego K_C = -2H + 2E donde H es la retirada de la amplia divisor de P^1. Contradicción.

Edit: en Realidad, ahora sólo me tiene un poco preocupado por lo difícil que se hace referencia anteriormente, como no conozco una referencia y es posible que uno puede tomar la raíz cuadrada de la canónica divisor general de la curva de característica 2. Es decir, no se que cosa rara donde d(x^2 + x^3) = x^2dx en carácter 2. Así que si usted toma un general Lefschetz lápiz en la curva, a continuación, parece que la ramificación tiene grado 2 en todas partes y x^3 plazo también está presente en cada punto y, a continuación, te gustaría obtener una raíz cuadrada de K_C. Así que lo siento, pero mi argumento es defectuoso! Por favor aleja de la upvotes para esta respuesta! Gracias!

Answer 2

En [Stefan Schroer, Curvas con sólo el triple de ramificación], el autor da a los límites inferiores de la dimensión del subconjunto del espacio de moduli de curvas para que la pregunta tiene una respuesta positiva.