Una hoja de ruta para la comprensión de perfectoid espacios

Question

Perfectoid espacios son este año el tema de la Arizona de Invierno Escolares (enlace) y, a modo de preparación, actualmente estoy tratando de entender el tema mejor. Hay maravillosas explicativa de las cuentas (Lo que es un perfectoid espacio, ¿Qué son los "perfectoid espacios"?) pero me gustaría aprender los detalles técnicos. Un problema adicional sería que no sé mucho (nada) acerca de la rígida geometría analítica. He encontrado muchas notas de la conferencia en internet el tratamiento de la no-geometría de arquímedes, adic-espacios, Berkovich espacios , etc, pero no sé por dónde empezar a aprender. Por otra parte, no sé de qué cosas son importantes y que las cosas pueden omitirse en una primera lectura. Estoy familiarizado con los esquemas y los campos de la región en la que menos.

Es allí una manera natural de progresar mediante el material?

Answer 1

Puedo decir por experiencia personal que es posible aprender perfectoid espacios sin saber rígida geometría, como es posible aprender, esquemas o incluso pilas sin saber mucho acerca de las variedades sobre los números complejos. De hecho, incluso es posible la transición con éxito a la investigación con este enfoque. Por supuesto, para que el enfoque sea significativo/éxito necesitas algo de "madurez en matemáticas" (en el sentido de ser capaz de distinguir claramente fácil/formal partes de la teoría de la carne real); por ejemplo, usted necesita un buen dominio de la propiedad conmutativa de álgebra/geometría algebraica (por decir lo menos).

Si quieres continuar con esto, sugiero la lectura (más o menos, línea por línea) Wedhorn del "Adic espacios" para lo básico y luego (o en paralelo) Scholze del "Perfectoid espacios."

Antes de los ancianos sabios de inicio de reprender a mí para dar este tipo de "irresponsable" consejos, permítanme cuestión de un par de salvedades:

1. Este enfoque no es para todos. Específicamente, si sientes la necesidad de "motivar" ejemplos a cada paso y es difícil de tragar en seco teorías, por el simple hecho de su propia belleza intrínseca, entonces yo pienso que es mejor estudiar de una forma más lineal (es decir, el aprendizaje rígida geometría de la primera).
2. Usted tendrá que tomar algunas partes de la sección 2 de "Perfectoid espacios" en la fe, porque usted no sabe mucho acerca de Berkovich espacios (pero el punto es, que realmente no son necesarios!). Por ejemplo, usted necesita para pasar por alto la descripción de los tipos de puntos en $(\mathbb{P}^1)^{ad}$ (un sobrevalorado ejemplo de todos modos, desde mi un poco limitada experiencia).
3. Si usted toma este enfoque y desea en algún momento posterior transición a la investigación, usted tiene que ser muy consciente del hecho de que durante mucho tiempo su intuición se derivan de un buen dominio de la sequedad de los aspectos de la teoría (o a partir de analogías con las teorías relacionadas con que te conozco bien) y no a partir de ejemplos o de hormigón cálculos. En particular, usted necesita estar consciente de que el peligro de cometer grandes errores cuando la formación de intuiciones de esta manera acerca de lo que debe ser verdadero o cómo demostrar algo. Intenta continuamente un puente sobre la brecha a medida que pasa.

Estoy de acuerdo con los demás a pesar de que puede ser un poco demasiado tarde para la AWS para ser totalmente significativo. Incluso si usted no entiende completamente las conferencias, intentar aislar los puntos de contacto con el material que hemos estado estudiando con el fin de obtener algo de ellos.

Answer 2

Aparte de todas las fuentes escritas, hay seis videos de Pedro Scholze de conferencias en el IHÉS en 2011 en Perfectoid Espacios y el Peso-Monodromy Conjetura :

http://www.dailymotion.com/video/xm4b56_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-1-6-peter-scholze_tech

http://www.dailymotion.com/video/xmes49_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-2-6-peter-scholze_tech

http://www.dailymotion.com/video/xmet75_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-3-6-peter-scholze_tech

http://www.dailymotion.com/video/xmev2o_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-4-6-peter-scholze_tech

http://www.dailymotion.com/video/xmewlx_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-5-6-peter-scholze_tech

http://www.dailymotion.com/video/xmip3g_perfectoid-spaces-and-the-weight-monodromy-conjecture-6-6-peter-scholze_tech

Answer 3

Estoy de acuerdo con nfdc23, a pesar de que aquí se trata de algún tipo de 'hoja de ruta', pero yo soy de ninguna manera un experto.

Me gustaría empezar con Brian Conrad "Varios enfoques para No Arquimedianos geometría" capítulo en un conjunto de notas de la conferencia de un anterior de AWS http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR2482345 y hay muchos ejercicios útiles allí. Véase también la segunda mitad de la Tate prólogo y Berkovich del prólogo a este libro desde hace bastante iluminadora perspectiva histórica.

Esto no tratar adic geometría en absoluto, sino que debe dar una buena idea de por qué uno puede querer una rígida geometría analítica' y los muchos matices que surgen en las teorías.

Para todos los detalles en decir un caso concreto como el rígido proyectiva de la línea hay un por ejemplo, el primer capítulo en el excelente libro de texto de Fresnel y van der Put http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR2014891 y el resto del libro tiene un montón de cosas que son difíciles de encontrar en otros lugares. Nota esto no es sólo una traducción de la versión francesa, hay mucho más en él que en el libro de 1981.

Supongo que es una cuestión de lo que te interesa. Para mí fue de las cosas relacionadas con Picard--Fuchs, por lo que el libro de André era un tesoro http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR1978691 el uso de la Berkovich dialecto.

Entonces supongo que para la adic caso de que no sea un enorme salto de Berkovich espacios, hay excelentes notas de la conferencia de Wedhorn (su página web) y también vale la pena destacar Huber fue muy claro escritor de artículos, y para el perfectoid teoría bien estás de suerte porque Scholze es también un notable clara escritor.