¿Por qué hay un unqiue ideal $n$-simplex en $\mathbb H^n$ con mayor volumen de $n\geq 3$?
Para $n=3$, este es un estándar de cálculo, y de dimensiones más grandes, es mucho más difícil (ver Haagerup y Munkholm); cometí el error de que originalmente indica que esto es fácil para todas las $n$. De todos modos, me pregunto si hay una razón más profunda de este hecho (que no dependen de cálculo); permítanme decir qué tipo de respuesta que estoy buscando.
Recordemos que este es un paso crucial en Gromov la prueba de Mostow Rigidez, una (muy aproximado) croquis de la cual es como sigue. Si tenemos dos cocompact subgrupos $\Gamma_1,\Gamma_2\subseteq\operatorname{Isom}(\mathbb H^n)$ cuales son isomorfos como resumen de los grupos, entonces tal isomorfismo debe extenderse a una homeomorphism de sus límites (hiperbólico grupos). En otras palabras, tenemos un auto-homeomorphism de $\partial\mathbb H^n$. Pero ahora, desde simplicial volumen es un homotopy invariante, este homeomorphism debe preservar la $(n+1)$-tuplas de puntos dando simplices de volumen máximo. Entonces uno se demuestra que cualquier auto-homeomorphism de $\partial\mathbb H^n$ con esta propiedad es, de hecho, inducida por un elemento de $\operatorname{Isom}(\mathbb H^n)$, lo $\Gamma_1,\Gamma_2$ son conjugada (a través de este elemento) en $\operatorname{Isom}(\mathbb H^n)$.
Hay un alto frente a la prueba de los hechos en el título de esta pregunta? (es decir, uno que utiliza la rigidez de los resultados en la Mentira de los grupos). Un primer paso en responder a esta pregunta sería para darse cuenta de que el espacio de configuración de $n+1$ puntos en $\partial\mathbb H^n$ modulo isometrías es trivial iff $n\geq 3$. Ahora el volumen es la realidad de la analítica de la función en este espacio de moduli. Hay una buena explicación de por qué se milagrosamente tiene un único máximo global (de hecho, un único máximo local!) (lo que implica Mostow rigidez)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, esto no es algo que "se puede demostrar fácilmente por cálculo": La prueba (por Haagerup y Munkholm) fue publicado en Acta.
En segundo lugar, en tres dimensiones, el conjunto de ideales simplices están parametrizadas por el positivo triples $\alpha, \beta, \gamma$ tal que $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ -- estos son los ángulos diedros. Entonces, uno puede mostrar que el volumen es una función convexa de los ángulos diedros (esto es realmente cierto para cualquier convexo ideal poliedro, pero el tetraedro caso está en la base de la prueba, y se demostró de manera diferente). Esto implica inmediatamente que el regular ideal simplex es el de volumen máximo (por consideraciones de simetría) -- este resultado (en mayor generalidad) está en un papel de mina en la década de los noventa:
Euclidiana estructuras en simplicial superficies hiperbólicas volumen Yo Rivin Los Anales de las Matemáticas 139 (3), 553-580
En las cotas más elevadas del argumento no acaba de funcionar, pero el hecho de que un simplex es determinada por su codimension-dos áreas, junto con la Schlafli diferencial fórmula implica que el volumen (como la función de los ángulos diedros) deben tener la misma firma en todas partes, y desde la función de volumen es adecuado en el conjunto de ideales simplices, debe tener un máximo, y así debe ser cóncava. Esto, sin embargo, no acaba de demostrar Haagerup-Munkholm, ya que el conjunto de posibles ángulos diedros es mucho más complicado en dimensión mayor que tres, y no es, obviamente, convexo, por lo que el argumento de simetría se rompe.
