Espacios que son homotópicos y cohomológicamente finitos

Question

¿Es cierto que cada espacio conectado con

1) sólo finamente muchos grupos de homotropía no triviales, todos finitos,

y

2) sólo finamente muchos grupos de cohomología racional no triviales, todos de rango finito,

es débilmente homotópica equivalente a un punto?

En 1953 Serre demostró que cualquier complejo finito de armas químicas con conexión simple no contratable tiene infinitamente muchos grupos de homotropía no triviales. Eso elimina muchos posibles contraejemplos.

En 1998, Carles Casacuberta escribió:

Sin embargo, no conocemos ningún ejemplo de un complejo de guerra química finito con muchos grupos de homotopía no nula que no sea un $K(G, 1)$ y los resultados de este trabajo sugieren que es poco probable que exista alguno.

Me interesa mi pregunta porque los espacios sobre los que pregunta son los espacios conectados cuya cardinalidad homotópica y característica de Euler están bien definidas. Estos conceptos son moralmente "lo mismo", pero parece que los espacios en los que ambos están definidos son muy escasos, a menos que estiremos las reglas del juego y usemos trucos para calcular productos o sumas alternas divergentes.

Para más información sobre estas cuestiones, véanse los comentarios que comienzan aquí:

http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/mbius_inversion_for_categories.html#c038299

y también estas diapositivas y referencias:

http://math.ucr.edu/home/baez/counting/

Edita : La condición 1) debía decir que nuestro espacio es "cohomológicamente finito", mientras que la 2) debía decir que es "homotópicamente finito". Se ha señalado que la condición 1) es demasiado débil: espacios como $ \mathbb {R}P^ \infty = K( \mathbb {Z}/2,1)$ explotan esta debilidad y sirven como fáciles contraejemplos a mi pregunta. Son cohomológicamente infinitas en algún sentido, pero no de una manera detectada por racional cohomología.

Así que déjame intentarlo de nuevo. Se me ocurren dos maneras:

Arreglar el número 1: ¿Es cierto que cada espacio conectado con

1) sólo finamente muchos grupos de homotropía no triviales, todos finitos,

y

2) sólo finamente muchos grupos de cohomología integral no triviales, todos finamente generados,

es débilmente homotópica equivalente a un punto?

Arreglar el número 2: ¿Es cierto que cada complejo finito de CW conectado con sólo finamente muchos grupos de homotropía no triviales, todos finitos, es homotropía equivalente a un punto?

Answer 1

$\mathbb{R}P^\infty$ .

Answer 2

Sí al arreglo nº 2.

Un espacio con un número finito de grupos de homotopía, todos finitos, está en la clase Bousfield generada por los espacios Eilenberg-MacLane para esos grupos en esas dimensiones. La conjetura de Sullivan -el teorema de Miller- implica que cualquier espacio de este tipo no tiene mapas no triviales hacia ningún espacio de dimensión finita. Por tanto, si el espacio es finito (-dimensional) su función identidad es homotópica a la función constante.

Hay mucho más que decir sobre este punto de vista.

La relación fundamental es que el espacio de mapas puntuales $\mathrm{map}_*(X,Y)$ es débilmente contractible. Así, $X$ no puede "ver $Y$ en absoluto desde la perspectiva de la teoría de la homotopía.

Conjetura de Sullivan/teorema de Miller: Si $G$ es un grupo (localmente) finito, entonces $BG$ no puede ver ningún espacio de dimensión finita.

Entonces tenemos

Lemma de Zabrodsky: Si $F \to E \to B$ es una secuencia de fibrado (con $B$ conectado a la ruta) y si $F$ no puede ver $Y$ entonces $B$ puede ver $Y$ si y sólo si $E$ puede ver $Y$ .

Ahora una simple inducción muestra que para cualquier $n\geq 1$ , $K(G,n)$ no puede ver ningún espacio de dimensión finita; y entonces que cualquier espacio $X$ con un número finito de grupos homotópicos no nulos, todos finitos, tampoco pueden ver espacios de dimensión finita.

Answer 3

Esto es realmente un comentario más que una respuesta.

Dudo que la característica de Euler de $X$ puede considerarse bien definida si $H^\ast(X;\mathbb{Q})$ es de generación finita pero $H^\ast(X;\mathbb{Z})$ no lo es. Si $H^*(X;\mathbb{Z})$ está generada finitamente, entonces la característica de Euler de $H^\ast(X;K)$ es constante para todos los campos $K$ . Si $X=\mathbb{R}P^\infty$ entonces tenemos una característica de Euler de $1$ para cualquier campo cuya característica sea impar o cero. En la característica dos la serie de Poincare puede considerarse como la función racional $f(t)=1/(1-t)$ y poniendo $t=-1$ se obtiene una característica de Euler de $1/2$ . ¿Quizás haya algún contexto en el que la característica de Euler pueda definirse como un adele?

Answer 4

Permítanme llamar a un espacio conectado $X$ con sólo un número finito de grupos homotópicos no triviales, todos ellos finitos, un " $\pi$ -espacio finito", y un espacio con sólo un número finito de grupos de homología integral no triviales, todos ellos generados finitamente, un "espacio de tipo finito" (por ejemplo, un complejo CW finito es de tipo finito). Lo que sigue se acerca a la respuesta a la pregunta, pero todavía hay una pequeña laguna...

En primer lugar, los grupos de homotopía finitos implican en realidad finito grupos de homología integral, por ejemplo, mediante la respuesta de Allen Hatcher a este pregunta. La idea principal es utilizar la secuencia espectral de Serre para la secuencia de fibras $\tilde{X} \to X \to B(\pi_1X)$ para reducir al caso simplemente conectado y luego utilizar la técnica estándar de las clases de Serre (nótese que los grupos de homotopía finitamente presentados hacen no implican grupos homológicos finitamente generados). Por lo tanto, para una conexión $\pi$ -espacio finito, la única condición extra en ser de tipo finito es la desaparición de la homología en dimensiones altas.

En segundo lugar, el teorema de Serre citado en la pregunta (que aparece en este como el teorema 10 de la sección 24) implica que si X es de tipo finito y tiene sólo un número finito de grupos homotópicos distintos de cero, entonces $X$ es (débilmente) contractible (el complejo CW finito es sólo el caso especial más famoso). Esto demuestra que un $\pi$ -El espacio finito simplemente conectado de tipo finito es contractible.

Para una conexión no simplemente conectada $\pi$ -espacio finito de tipo finito $X$ nos gustaría aplicar el argumento de la cobertura universal $\tilde{X}$ . Tenga en cuenta que todavía es $\pi$ -finito (obviamente) y tiene grupos de homología finitos (por tanto, generados finitamente) (por la respuesta de Hatcher), por lo que la única cuestión es la desaparición de la homología en dimensiones altas. Si $X$ es un complejo CW finito, entonces también lo es $\tilde{X}$ y entonces estamos bien. Esto también es válido si $X$ es un repliegue hasta la homotopía de un complejo CW finito (creo que esto es equivalente a ser un objeto compacto en el $\infty$ -categoría de espacios). Más generalmente, si $X$ es de dimensión cohomológica finita en el sentido de que toda cohomología con coeficientes locales desaparece a partir de una determinada dimensión, entonces también lo hace $\tilde{X}$ y de nuevo estamos bien. Así que en todos estos casos especiales, $\tilde{X}$ debe ser contraíble. Sin embargo, no sé si este es el caso en general.

Por último, si $\tilde{X}$ es contraíble, entonces $X = BG$ para un grupo finito $G$ y si no es trivial, entonces siempre tiene una homología integral no trivial en infinitas dimensiones (por ejemplo, mire este preguntas y respuestas). Así, $X$ debe ser contraíble.