¿Tiene una variedad *topológica* un agotamiento por submanifolds compactos con límite?

Question

Si $M$ es una variedad lisa conectada, entonces es fácil demostrar que existe una secuencia de submanifolds lisos compactos conectados con límite $M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots$ tal que $M=\bigcup_{i=1}^\infty(M_i)^\circ$ .

Supongo que también debería ser cierto que si $M$ es un conjunto de topológico entonces hay una secuencia de submanifolds compactos localmente domesticados con límite $M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots$ tal que $M=\bigcup_{i=1}^\infty(M_i)^\circ$ . ¿Cómo se puede probar esta afirmación? La única prueba que conozco de la afirmación en la categoría lisa es empezar con cualquier agotamiento por conjuntos abiertos con cierre compacto y luego "suavizar" sus fronteras. Sin embargo, modificar un conjunto abierto en una variedad topológica de modo que su frontera sea una submanifolda de codimensión 1 dócilmente embebida parece mucho más delicado (¡y quizás incluso haya un obstáculo para hacerlo!).

Answer 1

Dado que las variedades topológicas de dimensión $\le 3$ son suavizables, la pregunta es sobre las variedades de dimensión $\ge 4$ . Kirby y Siebenmann demostraron para $n\ge 6$ que toda topología $n$ -admite una descomposición de asas; esto se extendió a $n=5$ de Freedman y Quinn (creo que es el artículo de Quinn "Ends of maps, III"). Esto se aplica también a las variedades no compactas. Utilizando esta descomposición de asas se puede construir fácilmente el agotamiento requerido (sólo hay que utilizar un número finito de asas). Esto resuelve el problema en todas las dimensiones menos en la 4.

Se sabe que la descomposición de la manija falla en la dimensión 4, pero hay un argumento alternativo: Tomemos $N^5=M^4\times R$ construir un agotamiento de $N$ como en el caso anterior por submanifolds compactos $S_i$ . Ahora bien, Quinn demostró en 1988 un teorema de transversalidad topológica en todas las dimensiones ("Topological transversality holds in all dimensions"), que permite perturbar cada $S_i$ a $S_i'$ cuyo límite es transversal a $M\times 0$ . Entonces $S_i'\cap M$ será el agotamiento requerido.

Answer 2

El teorema de Whitney muestra que cualquier variedad lisa conectada $M$ , compacta o no, admite una incrustación adecuada $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ en un espacio euclidiano $\bR^N$ donde la propiedad significa que la intersección de la imagen de la incrustación con cualquier conjunto compacto es un conjunto compacto.

Supongamos que $M\subset \bR^N$ está correctamente incrustado. Para un punto $q\in \bR^N$ definir $f_q:M\to\bR$ al establecer

$$ f_q(p)= |p-q|^2,\;\;\forall p\in M. $$

Desde $M$ está correctamente incrustado deducimos que los conjuntos de subniveles $\lbrace f_q\leq c\rbrace\subset M$ son compactas para cualquier $t\in\bR$ .

Para los genéricos $q\in\bR^N$ la función $f_q: M\to\bR$ es Morse. Fijar tal $q$ . Así, cada conjunto de subniveles $\lbrace f_q\leq t\rbrace$ contiene un número finito de puntos críticos. Esto implica que el conjunto de valores críticos de $f$ es un subconjunto contable discreto de $\bR$ .

Elige una secuencia creciente e ilimitada $(r_n)_{n\geq 1}$ de valores regulares de $f_q$ y establecer

$$M_n:=\lbrace f_q\leq r_n\rbrace. $$

La colección $(M_n)_{n\geq 1}$ es un agotamiento de $M$ por las variedades compactas con límite.

Answer 3

¿No depende esto de la definición de "colector"? Si la única condición es ser localmente euclidiano, entonces hay ejemplos conectados no contables (por ejemplo, la "línea larga") para los que la respuesta a la pregunta es claramente negativa.