Deje $\mathcal{M}_{g,n}$ ser el espacio de moduli (pila) de estable en curvas suaves de género $g$ con $n$ puntos marcados sobre $\mathbb{C}. $ Es conocido que mediante la adición de estable nodal de las curvas de a $\mathcal{M}_{g,n}$, el espacio resultante $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ es compacto. Pero ¿por qué es así? Por ejemplo, considere la siguiente familia de curvas elípticas en $\mathcal{M}_{1,1}$, $$y^2=x^3+t,$$ where $t \in \mathbb{C^*}$. Then this family of elliptic curves degenerates into the cuspidal cubic curve $$y^2 = x^3.$$ So why is $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ compacto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si agrega cuspidal curvas, a continuación, $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ ya no se pueden separar, que es el esquema de la pila analógica de Hausdorff. Específicamente, considere la posibilidad de las familias $$y_1^2 = x_1^3 + t^6 \ \mbox{and}\ y_2^2 = x_2^3 + 1$$ (así que el segundo de la familia es una constante de la familia con el no $t$-dependencia). Para todos los distinto de cero $t$, son isomorfos por el cambio de las variables de $y_1 = t^3 y_2$, $x_1 = t^2 x_2$. Por lo que debe darle el mismo mapa de $\mathbb{C}^{\ast}$ a del espacio de moduli (es decir, una constante mapa). Si el cuspidal de la curva corresponde a un punto en el espacio de moduli, este mapa tiene dos límites.
La situación es similar con respecto a la familia $y_3^2 = x_3^3 + t$ que usted considere. En el nivel de grueso módulos de espacios, esta familia también corresponde a una constante de mapa de $\mathbb{C}^{\ast} \to \overline{\mathcal{M}}_{1,1}$. La sutileza es que las familias $y_2^2 = x_2^3 + 1$ e $y_3^2 = x_3^3 + t$ son no isomorfos más de $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[t^{\pm 1}]$, pero sólo por encima de la cubierta donde nos lindan con un $6$-ésima raíz de $t$. La definición de grueso espacio de moduli es decir exactamente para acomodar a las familias que no son isomorfos, pero convertido en isomorfo después de un número finito de la cubierta.
En general, cuando la elección de una definición de un espacio de moduli, si usted permite que muchos de los objetos, que no se separan y, si usted lo permite muy pocos objetos, ya no ser adecuada (análogo de compact). Así que la respuesta a "¿por qué no incluir" por lo general es "que rompería separatedness" y la respuesta a "¿por qué debemos incluir el" es "con el fin de ser la correcta".
