Cuándo puede una clase en $H^1(M;\mathbb{Z})$ ser representado por un haz de fibras de más de $S^1$

Question

Para un espacio topológico M, es conocido desde homotopy teoría de que los elementos de la primera cohomology $H^1(M;\mathbb{Z})$ están en correspondencia 1-1 con homotopy clases de mapas de $[M,S^1]$

En mi caso de interés M es un buen colector. Tome $\alpha$ y tomar liso $f\colon M \to S^1$ en representación $\alpha$, en virtud de la identificación.

Mi pregunta es, en virtud de lo (suficiente / necesario / equiv) condiciones de $f$ da un localmente trivial fibration (haz de Fibras) de M en $S^1$?

Yo prefiero las condiciones en términos de homología / cohomology de M.

Lo que viene a mi mente es que, de acuerdo a Ehrshmann teorema, ya que $S^1$ es compacto,este mapa es un fibration iff surjective + de la inmersión. Surjectivity puede ser asegurado mediante la selección de trivial cohomology de la clase. Como para la inmersión. No tengo idea de cómo caracterizar.

Gracias

Answer 1

Si $M$ es un compacto y irreductible 3-colector, una respuesta es proporcionada por un teorema de Stallings, en su 1962 papel "En la fibering ciertas las 3-variedades": $\alpha$ es representado por un fibration $f : M \to S^1$ si y sólo si el núcleo de los asociados homomorphism $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}$ es finitely generado y que homomorphism es trivial.

Answer 2

Permítanme que asumir a lo largo de esta respuesta que $M$ es cerrado, orientado, y conectado. Aquí están algunas de las condiciones necesarias.

Si usted pide un suave haz de fibras, a continuación, una condición necesaria es que la tangente paquete de $M$ tiene un trivial cociente de rango $1$, o, equivalentemente, un trivial subbundle de rango $1$. Esto es posible si la clase de Euler $e(M)$ se desvanece. Esto le da

Condición #1: $\chi(M) = 0$ (automática cuando se $\dim M$ es impar).

A continuación, si $F$ indica que la fibra de $f$, entonces el largo de la secuencia exacta en homotopy para la fibration $F \to M \to S^1$ toma la forma

$$1 \to \pi_1(F) \to \pi_1(M) \to \mathbb{Z} \to \pi_0(F) \to 1$$

(y para $n \ge 2$ los mapas de $\pi_n(F) \to \pi_n(M)$ son isomorphisms). Esto le da a $\pi_1(F) = \text{ker} \left( \pi_1(M) \to \mathbb{Z} \right)$. Desde $M$ es compacto, por lo que es $F$, lo $\pi_0(F)$ es finito. De ello se desprende que $\text{ker}(\mathbb{Z} \to \pi_0(F))$ es distinto de cero, por lo que tenemos

Condición #2: $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}$ es distinto de cero.

Esto es equivalente a la condición de que la correspondiente cohomology de clase en $H^1(M)$ es distinto de cero. Si nosotros, además, asumir que $F$ está conectado, a continuación, $\pi_1(M) \to \mathbb{Z}$ debe ser surjective, que es equivalente a la condición de que la correspondiente cohomology de clase es indivisible.

A continuación, si $M$ es un cerrado suave colector, entonces también lo es $F$. Esto le da

Condición #3: $\text{ker} \left( \pi_1(M) \to \mathbb{Z} \right)$ es finitely presentado.

Por supuesto, este núcleo debe ser, de hecho, el grupo fundamental de un colector cerrado de dimensión $\dim M$, por lo que si $\dim M \le 4$ (de modo que $\dim F \le 3$), a continuación, que pone algunas restricciones adicionales sobre el mismo. Más allá de esto no sé si hay algo fácil de decir.

Answer 3

Aquí es otra forma de abordar este problema. Decir $M$ es cerrado y orientable. La correspondencia $H^1(M,\mathbb{Z})$ con $[M,S^1]$ obras tirando hacia atrás el generador de $H^1(S^1,\mathbb{Z})$ a lo largo de $f$ conseguir $\alpha$.

El uso de la dualidad de Poincaré y universal coeficiente teorema (y olvidarse de torsión) podemos ver $H^1(M,\mathbb{Z})$ como un entramado en el interior de $H^1(M,\mathbb{R})$. Por parte del teorema de de Rham, $\alpha$ es representado por un cerrado $1$-forma, de modo que si tomamos $f$ a ser suave, un representante en la homotopy clase, entonces tenemos $\alpha = f^*dx$ donde $dx$ es el $1$-forma en $S^1$ generación $H^1_{dR}(S^1)$. A continuación, $f$ es una inmersión si y sólo si $f^*dx$ es un nonvanishing $1$-forma en $M$. Por lo $\alpha$ corresponde a un haz de fibras si y sólo si, después de tensoring con $\mathbb{R}$, puede ser representado por un nonvanishing cerrado $1$-forma.

De hecho, uno puede probar algo un poco más fuerte, como se hace en este documento. Cerrado orientable colector $M$ es fibrado sobre $S^1$ si y sólo si tiene un nonvanishing cerrado $1$-forma y en este caso las fibras son las hojas de la foliación generados por esta $1$-forma. Además, si tenemos un nonvanishing cerrado $1$forma $\omega$ que es un nonero real múltiples de $f^*dx$, entonces el haz de fibras mapa inducida por $\omega$ es isotópico a $f$.