¿Lo que ' s mal con esta aplicación de precesión de Thomas para mediciones de velocidad de movimiento circular?

Question

Si le sucede que tiene la Tercera Edición de la Electrodinámica Clásica por John David Jackson, vaya a la sección 11.8, ya que es donde yo estoy haciendo todo esto. Si no, usted debe ser capaz de seguir a lo largo.

En dicha sección, Jackson nos da esta ecuación que relaciona la física vectorial G en una rotación vs no-rotación de imagen de referencia:

$\left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{nonrot} = \left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{rest frame} + \boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{G}$

donde

$\boldsymbol{\omega}_T = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{v}}{c^2}$

"donde una es la aceleración en el marco de laboratorio", según el libro de texto. También, gamma se define el uso de v, la velocidad de la partícula como se mide en el laboratorio de marco.

Ok. Así que me decidí a comprobar este ajuste G = x, el vector de posición, para una partícula que experimenta un movimiento circular en el marco de laboratorio. Así tenemos

$\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)_{nonrot} = \mathbf{v}$

y

$\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)_{rest frame} = 0$ debido a que la partícula no tiene la velocidad en su propia estructura (a la derecha?).

Tan lejos y tan bien (creo). Ahora, esto implica que $\boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{x} = \mathbf{v}$. Así que si podemos verificar esto usando la definición de $\boldsymbol{\omega}_T$, estamos de oro. Sin embargo, si utiliza el hecho de que $|a| = \frac{v^2}{|x|}$ para el movimiento circular, así como el hecho de que una es perpendicular a v, y que una es (anti)en paralelo a x, y con cuidado de aplicar la regla de la mano derecha, encontrará, después de la algebraicas polvo se asienta, que

$\boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{G} = (1-\gamma)\mathbf{v}$

Así que es definitivamente una contradicción. Porque implica que $\mathbf{v} = (1-\gamma)\mathbf{v}$. ¿Alguien puede decirme donde esta salió horriblemente terriblemente mal? He trabajado en esto con mi profesor durante dos horas ayer y no hemos podido averiguar.

Answer 1

No he fingured cómo resolver completamente el problema, pero he encontrado dos errores (de los que estoy absolutamente seguro de a) en lo que has hecho. La incorporación de estos dos todavía no da la respuesta correcta, algo está mal así.

(1) Usted está utilizando una expresión incorrecta para la aceleración, que es válido para el clásico de los casos sólo. Es decir, $\ a = \frac{\ v^2}{\ x}$ . El correcto es $\ a = \frac{\ v^2 \gamma}{\ x}$

Estas páginas de Hartle del libro la fuerza de la Gravedad ayuda. Vea el ejemplo 5.6, la ecuación 5.52 y lo escrito después de ella.

(2) $\ dt$ tiene que ser corregido. El uso de $\gamma\ {dt_{rest frame}}=d\tau_{rest frame}$ Ver la línea siguiente ecuación 11.119 en su libro de texto.

Answer 2

Esta es una gran pregunta porque trae algunas sutilezas real que Jackson se pasa por alto, o al menos no hacer tan claro como él podría. Objetos diferentes tienen diferentes las leyes de transformación, y la vector de posición puede describir simplemente no transforma de acuerdo a la precesión de Thomas ley.

En última instancia, la precesión de Thomas sólo es útil para los vectores que deben ser medidos en relación a un "paralelo propaga" marco -- que es, un marco llevado junto con las partículas alrededor del círculo, sin extrañas de rotación. (Más precisamente, el nombre técnico de esta llevando es de Fermi-Walker el transporte). En la solicitud original, el correspondiente vector fue el spin de los electrones como se mueven alrededor del núcleo. (Más conocido modelo que se alude con frecuencia de precesión de Thomas es un giroscopio, donde su eje de rotación debe estar apuntando en la "misma" dirección en la que se mueve alrededor.) Tenga en cuenta que un electrón lleva su giro junto con él, en algún sentido; no necesita para referirse a cualquier punto en particular fuera de los electrones. Pero el vector de posición no es, simplemente, en esta clase; no deben ser transportados con la partícula, y usted no debe usar precesión de Thomas de relacionar sus componentes en diferentes marcos.

Ahora, usted podría preguntarse cuál es la transformación de la ley debe ser, si no la precesión de Thomas ley. Bien, usted está buscando en el momento de derivados del vector de posición, así que estamos hablando de una velocidad que se mide en dos marcos diferentes. Usted sabe, desde básico de la relatividad especial de que esto es descrito por la velocidad de adición de fórmula (con una bonita aplicación trivial en esta situación). Si el observador $n$ (nonrot) medidas de algo que se mueve a una velocidad $u$, y el observador se $r$ (resto) está en movimiento con respecto a $n$ en la velocidad de $v$, $r$ medidas que cosa en movimiento a velocidad \begin{equation} u' = \frac{u-v}{1-uv/c^2}~. \end{equation} Aquí, si la cosa que se mide es la partícula, a continuación,$u=v$, lo $u' = 0$ es la velocidad de la partícula en su propio marco del resto. Así, en este caso, la transformación correspondiente a la ley para la posición de "vector" $\mathbf{x}$ en su notación es justo \begin{equation} \left( \frac{d\mathbf{x}}{dt} \right)_{nonrot} = \left( \frac{d\mathbf{x}}{dt} \right)_{rest} + \mathbf{v}~, \end{equation} que usted ya lo sabía.

También vale la pena mencionar un segundo sutileza que Jackson se pasa por alto. Él habla sobre el origen de las coordenadas de los movimientos del marco de referencia, pero su derivación en realidad no lidiar con el origen; utiliza las rotaciones y aumenta, pero no de las traducciones. Por lo tanto, la fórmula de la realidad no se aplican a vectores que se refieren específicamente al origen-un hecho que se insinúa por señalar que la fórmula se aplica a "cualquier físicas vectoriales $\mathbf{G}$" (el énfasis es mío). Estrictamente hablando, $\mathbf{x}$ es un dispositivo matemático con intrínseco físico significado. Se puede utilizar para etiquetar los puntos, de modo que se podría hablar de que el campo eléctrico $\mathbf{E}(\mathbf{x})$ en ese punto, por ejemplo. En particular, su aparición en $\boldsymbol{\omega}_T \times \mathbf{x}$ realmente me pone nervioso, sin siquiera pensar sobre el contenido de la fórmula. Por otro lado, cuando se diferencian, hay que deshacerse de cualquier dependencia en el origen, por lo $d \mathbf{x} / dt$ está bien.

Para resumir, la precesión de Thomas simplemente no se aplica a la posición vector. En su lugar, la relación entre los vectores de velocidad en diferentes marcos está dado por el familiar de la velocidad de adición de la ley.

Answer 3

La cosa es que la derivación de esta fórmula implica que el $\bf{\omega}_T$ describe precesión adicional debido a efectos relativistas:

Nota que Jackson en la siguiente ecuación añade $\bf{\omega}_T$ $\frac{e\bf{B}}{mc}$ - precesión debido al campo magnético.