Importancia de Registro de la Convexidad de la Función Gamma

Question

La Bohr-Mollerup teorema establece que la función Gamma es la única función que satisface:

1) f(x+1) = x*f(x)

2) f(1) = 1

3) ln(f(x)) es convexa

La función Gamma está destinado a interpolar la función factorial, por lo que puedo ver de la importancia de las dos primeras propiedades. Pero, ¿por qué es el registro de la convexidad importante? Cómo afecta a la función Gamma aplicabilidad en otras áreas de las matemáticas?

Answer 1

En primer lugar, permítanme mencionar que el registro de la convexidad de una función está implícita en una analítica de la propiedad, que parece ser más natural que el registro de la convexidad en sí. Es decir, si $\mu$ es una medida de Borel en $[0,\infty)$ de manera tal que el $r$th momento $$f(r)=\int_{0}^{\infty}z^r d\mu(z)$$ es finita para todas las $r$ en el intervalo de $I\subset \mathbb R$,, a continuación, $\log f$ es convexa en $I$.

Registro de la convexidad puede ser utilizado con eficacia en la derivación de las diversas desigualdades que involucran la función gamma (en particular, las dos caras de las estimaciones de productos de funciones gamma). Se vincula con la noción de Schur convexidad que en sí es utilizado en muchas aplicaciones.

Un aperitivo. Vamos $m=\max x_i$, $s=\sum x_i$, $x_i > 0$, $i = 1,\dots,n$, entonces $$[\Gamma(s/n)]^n\leq\prod\limits_{1}^{n}\Gamma (x_i)\leq \left[\Gamma\left(\frac{s-m}{n-1}\right)\right]^{n-1}\Gamma(m).\qquad\qquad\qquad (1)$$

(1) es trivial, por supuesto, cuando todos los $x_i$ e $s/n$ son enteros, pero en general los límites no se mantenga sin asumir registro de la convexidad.

Editar añadido: un esbozo de la prueba. Deje $f$ ser positiva continua en función definida en un intervalo $I\subset \mathbb R$. Uno puede mostrar que la función $\phi(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i)$, $x\in I^n$ es Schur-convexo en $I^n$ si y sólo si $\log f$ es convexa en $I$. Por tanto, la función $$\phi(x)=\prod\limits_{i=1}^n \Gamma(x_i),\quad x_i>0,\qquad \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (2)$$ es Schur-convexo en $I^n=(0,\infty)^n$. Desde $x_i\le m$, $i=1,\dots,n$, y $\sum x_i=s$, es fácil comprobar que $$x \prec \left(\frac{s-m}{n-1},\dots,\frac{s-m}{n-1},m\right).$$ El último majorization y el hecho de que $\phi(x)$ definido por (2) es Schur-convexo implica el límite superior (1). El límite inferior de la siguiente manera a partir de la norma majorization $x\succ (s/n,\dots,s/n)$.

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Eche un vistazo a la reciente artículo corto por Marshall y Olkin sobre esto, y de las desigualdades relacionadas con la función gamma.

Answer 2

Hay una hermosa y detallada discusión de la singularidad de la función gamma en el Volumen 2 de Markushevich la Teoría de Funciones de una Variable Compleja. Los puntos esenciales son de la siguiente manera.

Cualquier meromorphic solución de $f$ a la funcional de la ecuación de $zf(z)=f(z+1)$, con $f(1)=1$, debe tener simples postes en todos los números enteros $m\le 0$ con residuos de $(-1)^m/m!$ Asumiendo que estos son TODOS los polos de $f$, Markushevich exhibe todos los meromorphic interpolaciones de la función factorial. Resulta que hay todo un zoológico de ellos, y en algunos (no muy satisfactorio) sentido de la habitual función gamma es la opción más sencilla.

Así que ... La Bohr-Mollerup Teorema arroja algo de luz sobre esta situación. Pero tal vez hay otras "interesante" extensiones de la factorial de que no son log-convexa.