Medir la Preservación de los Mapas de la Plaza para el Cubo

Question

Hay una medida de preservación de mapa de la unidad de intervalo en la unidad de cubo que es de Lipschitz de orden 1/2, que es $|f(x)-f(y)| \leq A |x-y|^{1/2}$. Teniendo en cuenta la imagen de pequeños intervalos, uno puede ver que uno no podía más mapa.

Ahora considere los mapas de $[0,1]^2$ a $[0,1]^3$ que preservar la medida. Mirando la imagen de bolas pequeñas vemos que f no puede ser más suave que Lipschiz 2/3.

¿Existe una medida de preservación de mapa de $[0,1]^2$ a $[0,1]^3$ que es Lipschitz 2/3?

Answer 1

Parece ser que hay una $\frac23$-Hölder (o $\frac23$-Lipschitz) en el mapa de $[0,1]^2\to[0,1]^3$. Al parecer, fue encontrado en este trabajo. No sé si se ha hecho en otros lugares.

El espacio de llenado de las curvas debido a Hilbert, Peano y Sierpinski preservar la medida y el citado artículo contiene generalizaciones de estos, por lo que parece muy posible que la medida se mantiene con algunas de las correspondientes superficies así.

Sólo he sido capaz de acceder al resumen. Sería genial si alguien con acceso a textos completos pueden checar los resultados exactos en el papel.

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Aquí está la Fig.12b del artículo citado, mostrando su Hilbert de la superficie, cuya dimensión fractal enfoques $3$. (Imagen añadida por J. O'Rourke):