Clifford teoría: el comportamiento de un muy general irreductible de la representación en virtud de la restricción a un número finito índice de subgrupo.

Question

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H$ ser un subgrupo de índice finito.

Deje $V$ ser una irreductible representación compleja de $G$ (no topología o nada: $V$ es sólo un no-cero complejo espacio vectorial lineal de la acción de $G$ y ya no trivial de la invariante de suscriptores).

Ahora considere el $V$ como una representación de $H$. Es $V$ de un número finito de suma directa de irreductible $H$-reps?

Estoy casi avergonzado de hacer esta pregunta aquí. Ella miró a mí inicialmente como la respuesta debe ser "sí, y esta pregunta es trivial". Si $G$ es finito, es trivial y Clifford teoría dice que, básicamente, lo que puede suceder. He aquí otro caso que puedo hacer: si $H$ tiene el índice de dos en $G$ entonces $V$ es de hecho un número finito de suma directa de irreducibles. Para cualquiera de las $V$ es irreductible como un $H$-rep, en el que caso de que lo hayamos hecho, o $V$ es reducible, así que no hay $0\not=W\not=V$ una $H$-estable sub. Decir $g\in G$ con $g\not\in H$. Uno comprueba fácilmente que $gW$ es $H$-estable, que $W\cap gW$ es $G$-estable, por lo que debe ser cero, y que $W+gW$ es $G$-estable, por lo que debe ser $V$. Por lo tanto $V$ es la suma directa de $W$ e $gW$. Esto implica que $W$ es irreductible como un $H$-rep---por si $X$ fueron no trivial de la sub, a continuación, el mismo argumento muestra $V=X\oplus gX$ pero esto es estrictamente menor que $W\oplus gW=V$.

Pensé que este argumento debe trivialmente generalizar a, digamos, en el caso de que $H$ es un subgrupo normal de primer índice. Pero ni siquiera puedo hacer el caso de que $H$ es normal y $G/H$ tiene orden de $3$, porque no puedo descartar $V$ la suma de cualesquiera dos de $W$, $gW$ y $g^2W$, y la intersección de dos cualesquiera de ser trivial.

O me estoy perdiendo algo tonto (lo más probable!) o hay algo de daft contraejemplo. Casi siento que me gustaría ser capaz de demostrar algo si sabía Schur del lexema [editar: por que me refiero a que si yo conocía a $End_G(V)=\mathbf{C}$ entonces yo podría saber cómo proceder], pero en esta generalidad no veo ninguna razón por la que debe ser cierto. Tal vez si yo conocía a un ejemplo concreto de una irreductible representación compleja de un grupo para el que Schur del lema fracasado, entonces yo podría ser capaz de volver a la pista. [edit: eliminado respuesta, Qiaochu señaló que $G=\mathbf{C}(t)^\times$ actuando en $\mathbf{C}(t)$ proporciona un ejemplo sencillo] [comentario final que en el contexto en el que surgió esta pregunta, $G$ fue una localmente profinite grupo y $V$ era suave, y yo podría utilizar Schur del Lema, pero por entonces yo estaba interesado en el caso general...]

Answer 1

Desde $V$ es irreductible, es un finitely generadas $\mathbb C[G]$-módulo, cualquier elemento no nulo es un generador. Desde $H$ es de índice finito, $\mathbb C[G]$ es un finitely generado $\mathbb C[H]$-módulo. Por lo tanto $V$ es un finitely generadas $\mathbb C[H]$-módulo. El Lema de Zorn implica la existencia de una irreductible cociente $W$.

Supongamos que $H$ es normal en $G$. (Probablemente es suficiente para suponer que el $H$ contiene un subgrupo de índice finito, lo que es normal en $G$.) Deje $K$ ser el núcleo de $V\rightarrow W$, para cada $g\in G$ el cociente $V/g K$ es una irreductible $H$-rep, isomorfo a $W^g$. El núcleo de la natural mapa $$V\rightarrow \bigoplus_{g\in G/H} V/g K$$ es $G$ invariante, y, por tanto,$0$. Así que podemos inyectar $V$ a de un número finito de suma directa de irreductible $H$-reps. Elegir un más pequeño subconjunto $X\subset G/H$, de tal manera que $\varphi: V\rightarrow \bigoplus_{g\in X} V/g K$ es inyectiva, entonces $\varphi$ es también surjective.

Edit. Kevin señaló que $H$ siempre contiene un subgrupo de índice finito, lo que es normal en $G$, y F. Ladisch remató el caso general, yo.e sin asumir que $H$ es normal en los comentarios de abajo.

Answer 2

Supongamos que $H$ es normal en $G$. Escribir $G=\cup_{i=1}^n g_iH$.

Deje $M < V$ ser una irreductible $H$-módulo y escriba $M_i:=g_iM$. Desde $H$ es normal, $M_i$ es $H$-módulo, que es irreductible como $M$ es irreductible. Tenga en cuenta que $M_i \cap \sum_{j \neq i} M_j$ es trivial o igual a $M_i$ ya que es un submódulo de $M_i$.

Ahora $V=\sum_{i=1}^n M_i$ desde el lado derecho es una $G$-submódulo de $V$. Dejando fuera superfluo $M_i$'s tenemos que $V$ es una suma directa de algunas de las $M_i$'s.