Puede algo profundo se dijo de manera uniforme sobre toda una serie de conjeturas como la de Goldbach es?

Question

Este es un suave cuestión suscitada por mi curiosidad acerca de la intrínseca profundidad de Goldbach-como conjeturas de como es percibida por los actuales expertos en teoría de números. El teorema de la incompletitud implica que, si nuestro elegido fundamentales del sistema es capaz de razonar sobre los conceptos básicos de la aritmética (equivalentemente básicas de manipulación de cadena), entonces no son verdaderos $Π_1$-frases que vamos a ser incapaz de probar, no por incapacidad, sino por la imposibilidad. La cosa es que, esta imposibilidad surge de la capacidad para demostrar finito pistas de programas (para algunos fijos de Turing-completo idioma). Pero muchos abierto actualmente conjeturas también se $Π_1$ demasiado (como Goldbach de la conjetura), y por lo tanto también puede ser interpretado como preguntas acerca de si o no ciertos programas de detener.

Basado en esto, me parece que es muy fácil de hacer conjeturas acerca de los números primos que se sostiene bajo una estadística de las hipótesis sobre la distribución de los números primos, al menos para un número suficientemente amplio, y luego ajustar la conjetura de eliminar lo que empíricamente parece ser el único contra-ejemplos. Así por ejemplo, no soy experto en teoría de números, pero puedo 'al azar' crear una conjetura:

PSQ: Cada entero $n>5$ de la forma $3k+2$ es la suma de un primo y una cuadrada positiva.

He comprobado que el uso de un trivial programa de C a $30$ millones de dólares, y se puede ver que si suponemos un número entero $x$ a ser una de las primeras con una probabilidad de $\sim 1/\ln(x)$ , la probabilidad de que un número $n$ no cumple con PSQ es en la mayoría de las $\sim (1-1/\ln(n/4))^{\sqrt{n}/2}$ $\sim \exp(-\sqrt{n}/\ln(n/4)/2)$ $\ll 1/n^2$, lo que implica que el esperado número total de errores es finito.

Bajo la misma probabilística de la heurística, Goldbach la conjetura es incluso más probable que tenga un número finito de contra-ejemplos que PSQ, pero mi verdadera preguntas no son sobre cualquiera de ellos per se, sino más bien:

1. Podemos esperar cualquier profundidad los fenómenos relativos a tales conjeturas, dado que:

   • El mismo probabilística de la heurística se aplica a otra muy similar de las conjeturas que se han 'al azar' contra-ejemplos. Por ejemplo, la sustitución de la "$3k+2$" la condición de "no-cuadrado" parece (empíricamente) para dar lugar a sólo $38$ contra-ejemplos (la última se $21679$). Yo por lo tanto siento parece ser una cuestión de coincidencia de la misma especie como la ley de los pequeños números, que PSQ es cierto. (Y si sucede que PSQ es falso, se puede ajustar como he mencionado anteriormente, tales como exigir $n$ a a ser un $3k+2$ prime.)

   • Incluso programas de corta duración, puede haber complicado el comportamiento de testigos, el Castor Ocupado de la función), y si los números primos son verdaderamente distribuida 'al azar', entonces no deberíamos de los más esperan que tales conjeturas acerca de los números primos para ser derivadas de la misma manera como la coincidencia de hechos relativos a la larga duración de los programas, es decir, sin ninguna razón?

   • Soy consciente de que no puede ser simple número teoría de las restricciones. Por ejemplo, tiene sentido que PSQ tiene más ejemplos de lo contrario cuando el $3k+2$ restricción se elimina, ya que en "promedio" esperamos que los números primos son igualmente probables $1$ o $2$ mod $3$, por lo que "la mitad del tiempo' en la suma de un primo y un cuadrado sería $2$ mod $3$. Sino que simplemente los cambios de las constantes involucradas en la probabilística de la heurística de las estimaciones, y por lo tanto no afectan mi punto.

2. ¿Hay algún uniforme explicaciones (si teoremas o conjeturas) que abarcaría grandes clases de tales conjeturas de sumas de dinero que involucran los números primos? En otras palabras, que probabilidades hay de malo en especulando que la mayoría de tales conjeturas han coincidencia de valores de verdad?

Answer 1

Existen sorprendente contraejemplos. Elsholtz y Dietmann encontrado el siguiente: Si $p\equiv 7\pmod{8}$ es primo, entonces la ecuación de $x^2+y^2+z^4=p^2$ no tiene no trivial de la solución. Se puede argumentar que esta ecuación es más de Waring luego de Goldbach tipo, pero recuerda que las sumas de dos cuadrados puede ser descrito multiplicatively, por lo que en realidad es bastante Goldbach gusta.

Answer 2

Esto puede no responder a su pregunta, pero si es así, tal vez usted podría aclarar en qué sentido no lo hace. El Cramér modelo de los números primos predice muchas declaraciones acerca de los números primos, pero Maier del teorema muestra que no siempre funciona. Así que tal vez Maier del teorema es "profundo"?

Como para uniformes de explicaciones, tal vez la Bateman–Cuerno conjetura califica?

Answer 3

La "parte principal" de una conjetura como Goldbach es la declaración de que el número de contraejemplos es finito (o incluso: que el número de formas de expresar un número como una suma de dos números primos es asintóticamente tal y tal). A su vez, que la declaración es un síntoma de algo más profundo, pero menos bien definido, es decir, que modelos probabilísticos para los números primos (si no Cramér, entonces más finos modelos) son de sonido. Una de las principales razones por las que preocuparse de Goldbach es una conjetura, o espacios entre los números primos, etc., es que es un punto de referencia para la fuerza de nuestros métodos. ¿Por qué estas conjeturas y no en otros? Bueno, eso es un histórico y psicológico hecho tanto como un matemático, aunque, como es de esperar, simple, elegante declaraciones, hay algunas aplicaciones, y las nuevas que surgen inesperadamente, ahora y entonces.

Lo mismo ocurre con el "completo" Goldbach. La ampliación de las pruebas para que sean válidas para todos los números enteros, y no sólo para los muy grandes, no es sólo una prueba de fuerza, pero la realidad: nos decimos a nosotros mismos que los límites que son el pan y la mantequilla de la teoría de los números son bastante buenos, pero ¿lo son realmente? Si sólo dan resultados válidos para $n$ mayor que $10^{1000}$o $10^{10^{10^{10}}}$, o un no especificado constante, entonces, bueno...

Pero nada cambio, si hay un único contraejemplo a Goldbach en torno a $10^{30}$? No, realmente no, aunque los modelos probabilísticos sugieren que es extremadamente raro, y así nos haría bien a ver si nuestros modelos necesitan revisión.

(Imperfecto ejemplo: Mertens' conjetura ($|\sum_{n\leq x} \mu(n)|\leq \sqrt{x}$) se mantiene en el rango que se ha comprobado, pero se sabe que es falsa por muy grande $x$. Hay, sin embargo, los modelos probabilísticos que muestra que la conjetura era probablemente incorrecta. La refutación surgió de un estudio de ceros de $\zeta(s)$, en lugar de partir de un cálculo directo.)

Answer 4

La conjetura PSQ no es esencialmente nueva. En 1923 Hardy y Littlewood [Acta de Matemáticas. 44(1923), 1-70] conjeturó que todos los grandes entero, no ser un cuadrado, puede ser expresado como la suma de un primo y un cuadrado. Ver también http://oeis.org/A020495 para la lista de los cuadrados de los enteros positivos que no son de la forma $p+x^2$ con $p$ prime, y http://oeis.org/A065377 para obtener una lista de números primos no de la forma $p+x^2$ con $p$ el primer y el $x$ un positivo entero.

Respecto a su segunda pregunta sobre el uniforme explicaciones, usted puede consultar la Conjetura 2.1 de mi papel de las Conjeturas en las representaciones que involucran números primos publicado en el año 2017 para una Hipótesis General sobre las representaciones que involucran números primos.

PS: no creo que es fácil plantear nuevas agradable conjecures en números primos.