Hay un completo espacio métrico $X$ con la siguiente propiedad?
Para cualquier par de puntos de $p,q\in X$ no es único minimizar geodésica $[pq]_X$ que se conecta $p$ a $q$, pero el mapa de $(p,q)\mapsto [pq]_X$ es no continua.
Comentarios
Para segura de que ese espacio no puede ser compacta (o adecuado).
Si fijamos un extremo $p$, entonces no es un ejemplo clásico --- la rueda; es un círculo unitario con la continuidad de los picos desde el centro de la $p$ a cada punto en el círculo.
Un ejemplo de noncomplete espacio con esta propiedad puede ser construido por comenzar con un largo círculo y la aplicación de la siguiente construcción countably muchas veces: Dada una geodésica del espacio $X$ construir un espacio de $X'$ donde para cada par de puntos de $p,q\in X$ tal que $|p-q|_X>1$ añadimos una unidad de segmento con extremos en $p$ e $q$.
